作者：Bjørn Ian Dundas（挪威卑尔根大学）、Christian F. Skau（挪威科技大学NTNU，挪威特隆赫姆）
译者：zzllrr小乐
编者按：本文原文收录于EMS欧洲数学会杂志（开放获取DOI 10.4171/MAG/108），是挪威两位数学家对2022年Abel奖获得者丹尼斯·沙利文Dennis Sullivan教授（1941-）的专访
Q: 沙利文教授，首先我们要祝贺你获得 2022 年阿贝尔奖，以表彰你对最广泛意义上的拓扑学，特别是代数、几何和动力系统方面的开创性贡献。明天你将获得挪威国王陛下颁发的阿贝尔奖。
A: 谢谢！
Q: 你曾在许多不同的领域工作过，实际上，你的导师威廉·布劳德 (William Browder) 将你描述为一种智力真空吸尘器。但似乎你总是有一个指导原则来指导你所做的事情。如果数学建立在两个支柱上：空间和数字，那么你对空间的偏爱到了想要用空间替换数字的程度。
你的这个探索的一部分是这个问题：“什么是流形？” 这也许是一个很好的起点；在我们继续你的旅程之前，正如你所说，由表及里，直觉地讲：什么是流形？
A: 它是空间，用一组点在逻辑上表示。
Q: 它是空间，但是一个特殊的空间，不是吗？
A: 不，空间的概念是你可以移动东西。没有一堵看不见的墙让你停在这里，但你可以四处走动。任何局部与之类似的对象都称为流形。空间本身是一个直观的词，我们都知道。但是有一个实际的概念叫做流形，它是那个直观概念的逻辑版本。当你作为数学学生第一次了解它时，这是一个有吸引力的概念。我学到的关于这些流形的第一个数学理论有点奇怪。
Q: 告诉我们啊！
A: 你附加到这样一个对象，你并没有真正根据其逻辑定义，即一些非常抽象且属于代数拓扑的其他对象，对其进行描述。当你有足够的合适条件时，你可以建造流形。
Q: 所以你真的可以从这些抽象对象中重建流形吗？
A: 你可以等价建造它。但是你并没有真正以规范的方式构造流形的点。所以，它没有积分。这就像一个黑匣子。信息存储在那里。这就是数字的用武之地；所有这些概念都是基于数字、代数，而实际的空间纹理并不存在。
阿贝尔奖得主丹尼斯·沙利文从挪威国王哈拉尔德手中接过阿贝尔奖。照片鸣谢：Naina Helén JåmaQ: 就像蛋糕的配方一样吗？
A: 是的，我会说完全一样；这是个好主意。你一定是这样准备的吧？
Q: 不，我们没有！
A: 这是一个很好的解释。它就像一个没有边缘或层次的蛋糕。只是这个美味的蛋糕永远存在，对吧？
Q: 你真的想吃蛋糕吗？
A: 嗯，这就是你被吸引的地方，空间的概念和它的纹理。然后，结果发现，每次我问教授一个问题，他都会给我一个数字的答案，即代数拓扑和同伦理论。所以我必须学习，事实上。我调整了几何问题，使其符合数字，可以这么说。你知道，有些目标是无法实现的，有些目标是触手可及的，所以我在此期间进行了调整以实现那些触手可及的目标。
Q: 你在这里描述的或多或少是所谓的手术，你实际上是根据处方建造空间吗？
A: 对，你有一个信息处方：它有多少个孔，多少个柄等，然后你用这个描述构建一个实际的流形。手术可以让你建造它。那是一种强大的技术。实际上，它是继影响很大的Thom（汤姆）配边（cobordism） 理论之后的次生技术。
Q: 但是这里的重要区别，与实际的流形相对，是什么可以变形和推动，嗯，在同伦理论，同伦类型中——用技术术语来说？
A: 是的。首先，有趣的是封闭流形的分类是一个有趣的主题。不是，先验地，很清楚它会是这样，但是对封闭的流形进行分类是非常有趣的。你知道，没有边界，没有走向无限。
经典地，人们知道曲面的分类。这可以追溯到阿贝尔和黎曼。他们想到了。球面、亏格数、阿贝尔函数、阿贝尔微分等。但是庞加莱已经发现，在三维中它要复杂得多。然后随着维数增加，它变得越来越复杂。
可以说，有足够多的“数字机器”来理解五维及更高维的空间，这有点有趣。这是一个惊人的发展，我想说，这主要归功于 Thom，我想说，谁开始了这个，而手术正在完成这个故事。我上了最后一艘开往……任何地方的大船。
Q: 手术使用确切顺序？
A: 有点儿。布劳德——你提到了布劳德——他提出了这个理论。而且它的形式很复杂。你可以稍微改变一下，让它变得更简单。然后你可以从改变的图片中看到哪些区域可以完全开发。在某种意义上，针对有限情况，光滑结构仍然是开放的。我的意思是，我们知道光滑结构的所有无限部分。
Q: 这也是前阿贝尔奖得主Milnor米尔诺产生巨大影响的领域。
A: 是的，当然。他 1963 年与 Kervaire 的论文是我的数学圣经。
Q: 这实际上将我们引向了你在普林斯顿的论文。普林斯顿当时一定是个迷人的地方吧？
A: 绝对地！所有这些名人都有丰富的专业知识。
Q: 所以你可以问他们吗？
A: 是的，你可以每天在喝茶的时候问他们，而不必预约，因为他们都来喝茶。你可以问他们任何你想问的问题。
Q: 有一个可爱的故事是关于当你即将完成你的论文时，你和 Milnor 进行了讨论。你能说说吗？
A: 嗯，我有这一系列的步骤，如果我能全部完成，我就能解决我想要的。但是每一步都有一个明确的手术部分，然后它有一个米尔诺奇特的球面部分。我不知道他们是如何联系在一起的，所以我走进他的办公室，因为我有一个严肃的问题。喝茶时你可以问任何问题，但这很严肃。他看着它说：“你为什么不忘记米尔诺部分”。他没有那样说，而是说：“你为什么不忘记奇异球面部分，只做第一部分。” 这适用于分段可微流形。
Q: 所以这是组合流形案例？
A: 是的，我称它们为组合流形（combinatorial manifolds），或 PL 流形（piecewise linear manifolds），或分段可微流形（piecewise differentiable manifolds）。你允许微分结构被打破，但你保持组合结构。我说：“谢谢米尔诺教授”，但我想：“哦，这些分段线性流形，我喜欢光滑的流形，但它们只是分段线性的。” 我想了想：“等一下，如果我这样做，我就完全知道结构了！也就是说，我完全了解局部的结构。” 我只需要弄清楚整体结构，这又花了一年时间，后来终于解决了整个问题。
Q: 你问你的论文导师布劳德：“这可以进入我的论文吗？”
A: 嗯，是的，没错。我问他：“我有这个步骤序列，有这些系数，如果你能完成所有步骤，你就会得到这个结果。这可以成为我论文的一部分吗？” 他说：“好吧，我想那是你的论文。”
Q: 这回答了人们长期以来一直想知道的一个长期问题？我们正在考虑所谓的主猜想（Hauptvermutung，德语）。
A: 那实际上是驱动引擎。关于组合结构是否唯一地由拓扑结构决定，还有一个更著名的问题。这就是所谓的主猜想。事实证明，只要我能够完全理解我所讨论的理论，我就可以使用诺维科夫（Novikov）的技术来证明我的数字列表为零。
接下来的八个月就像一场比赛，真的是一场与现实的赛跑。每次我能更好地理解这个整体理论，我就可以证明主猜想。事实证明，我可以证明一切都是零，除了四维中的一个小东西有二阶，不是零，就是这样。几年后，他们竟然在那个小地方找到了反例。所以我尽我所能地证明。
Q: 你说的那个小地方是四维的障碍群吧？
A: 是的，那是我在四维的障碍群。从某种意义上说，这不是我的工作方式。
好吧，如果我能解决一个众所周知的问题，我会很高兴，但我真的很喜欢更好地理解事物。所以，我实际上喜欢这样的理论，即这些都是给定同伦类型中的所有分段线性流形，你可以计算这些数字然后你知道你有哪一个，这是一个完整的讨论。事实证明，100 个数字中有 99 个也是拓扑不变量。所以你得到了这个推论。今天的人们只知道推论。现在他们甚至有了更简单的证明，我所做的一切都被遗忘了！所以我很高兴我获得了这个奖项，我可以再次谈论它。
Q: 你立即从那里继续前进并做了其他令人惊奇的事情。你发现伽罗瓦群对流形的研究具有重要意义。确实，你以这种方式解决了一个著名的猜想。你能否详细说明一下，重点关注它的流形方面？具体来说，为什么对流形有一个伽罗瓦群作用，这似乎一点也不合理。
A: 我会说它仍然没有被理解。换句话说，有这个不变量列表——我将它简化了一点——但是这个列表的很大一部分可以被收集到 K 理论中的一个元素中。而 K 理论具有这种对称性，即亚当斯运算（Adams operation）。人们知道，当你查看复数中的单位根时，也就是说，如果你添加单位根并形成域，那么你将得到伽罗瓦群的阿贝尔部分。而这些域的对称性，更准确地说，你必须完成流形理论——从技术上讲，这对拓扑学家和几何学家来说有点奇怪——你可以完成流形的数字方面，并且它具有完全对称的大的阿贝尔部分伽罗瓦群。所以我们有阿贝尔和伽罗瓦在一起。
并且这种对称性存在于 K 理论中，因此它作用于流形的不变量。因此，流形只被赋予了信息、同伦类型和这些其他数值不变量，伽罗瓦群作用于这些不变量，因此它作用于流形。事情就是这样发生的。它不是以一种自然的、明确的几何方式出现的，这导致了这个 Jugendtraum（青春之梦，德语），这是 Kronecker 在不同的背景下创造的一个术语。这个“青春之梦”，用基本的术语解释这一点，仍然是开放的。
Q: 我们如何查看流形？正如我们所看到的代数簇？
A: 这有点奇怪，你看。如果你想到通常的具有实数和复数的代数簇，它们就是正常的拓扑空间。而这个拓扑来自复数或实数的拓扑，对吧？伽罗瓦群不保持该拓扑。代数几何的一个经验是，要理解以整数定义的事物，最好通过查看每个素数并查看实数完备性来理解，并以这种方式查看信息。所有这些信息的“交集”给出了完整的信息。这有点复杂。这实际上对我的拓扑同事来说太过分了。因为他们是几何拓扑学家，而不是同伦理论家，不想听到这件事。而同伦理论家喜欢它！
Q: 所以，你正在收集所有这些信息，一次一个素数，再加上有理信息？
A: 是的，对于流形，有限素数部分分为素数二和所有奇数素数。单个奇数素数的行为方式相同。由于庞加莱对偶（Poincaré duality），它就像一个二次型。众所周知，二次型在素数 2 处的行为不同于在奇素数处的行为。
Q: 我们能不能暂时转向一个不同的话题，尽管仍然与庞加莱这个名字有关。
我们正在考虑庞加莱时刻这个术语，它指的是庞加莱本人所描述的经历，他在一瞬间看到了他已经研究了几个月的问题的解。你有过这样的庞加莱时刻吗？
A: 我一直在寻找它们，但它们很少来。
Q: 你能告诉我们你在博士期间准备参加口试时的有趣经历吗？
A: 哦，对，对，对。Milnor 有一本小书，名为《可微观点下的拓扑学》（Topology from a differentiable viewpoint）。关于如何做所有常见的事情，你知道的，柯尼斯堡七桥问题，到 Betti 数等等。你可以使用光滑函数和正则值、良好点的原像、子流形来做更多几何上的事情和类似的东西。
那是 Milnor 从 1953 年开始对 Thom 理论的精彩描述，好吗？所以，我们正在口头研究，我知道它的来龙去脉，可以回答任何问题。
我走进去参加考试，心想：“让我在考试前再看一遍”。我去图书馆，打开书，看了看。这是一本小书，里面有十个定理。但是，仍然有很多步骤，我又看了一遍，然后这张基本图片出现在我面前：你有一张类似球面的地图，拍摄了一个点的原像——这是所谓的好值——通过隐函数定理，你会得到一个好的子流形。你得到局部的坐标，然后漏斗下的邻域，就像你把它柔美地向下推并完全压平一样。但这是在说整体地图：有一个点的原像，然后我注意到：“哦，等一下，一个点的原像包含所有信息。域中的补集可能很复杂，但球面像中的点或圆盘的补集是可收缩的。这就像从气球中取出一个点，它收缩，是可收缩的！因此，你可以将映射唯一地扩展到可收缩部分。你所做的任何选择都将通过变形与任何其他选择相关联。
丹尼斯·帕内尔·沙利文 – 2022 年阿贝尔奖得主。照片鸣谢：John Griffin / 石溪大学 / 阿贝尔奖突然间，整本书或整个理论变得清晰起来。它只是从这张图片，从这张柔美图片中得出的，逻辑上说这里的补集是可收缩的，所以没有更多的信息。那只是纯粹的逻辑，加上这张简单的图片。整本书都掉了，整个理论都掉了。如果我得了健忘症，但脑子里只剩下那幅图，我可以重现整本书和整个理论。然后我想：“这就是理解数学的意义”。我是研究生！所以，我想再次感受一下！
Q: 你有吗？
A: 是的！但是，它需要的时间越来越长。
Q: 你在这个领域的其他主要成果中，有没有人有你脑海里这样的画面，你在哪里真正看到了整个理论？
A: 嗯，我的意思是，基本上我所说的这一系列步骤，你在哪里拍摄原像并使用这张照片，我一直在使用它。例如，你知道螺丝刀是如何工作的，它进入插槽并转动。你可以拆这个房子，你知道的。我的意思是，你可以做任何事情。
你必须有一个简单的工具，你必须理解它，然后使用它。好吧，那不完全是庞加莱时刻。
当你这么说的时候，我想到的庞加莱时刻是当他踏上公共汽车时，他意识到单位圆的全纯双射（holomorphic bijections）与非欧几何的对称性或全等相同。那是一种奇妙的联系。这两件事他都知道。但是，从某种意义上说，联系就是当下。这在很大程度上决定了下个世纪，以及瑟斯顿（Thurston）等人的所有工作。
Q: 但是当你证明亚当斯猜想时，你一定有过类似的经历。你已经评论说，伽罗瓦作用与亚当斯运算相对应并不重要。尽管如此，当你试图解决亚当斯猜想时，它们一定是相同的，这对你来说一定是非常重要的。那一定是一个启示，那实际上可能是真的？
A: 好吧，这不是我的创造，而是奎伦（Quillen）的观察，不知何故这些亚当斯运算，不管它们是什么，让我们说它们是与流形和空间有关的事物的一些对称。
对称性与以下事实有关，当你在代数域工作时，你可能会假设p 乘以任何数都是0，其中p是一个素数，比如3 乘以任何数都是0，3是素数。有一个惊人的事实，例如，如果与3 相乘是 0，你取一个数 x，然后将其立方，然后取另一个数字y，并将其立方，然后如果你将两者相加，然后将这两个数字的总和立方，你会得到相同的结果：x³+y³=(x+y)³ 这是因为二项式系数定理所说的，你得到了这些（系数分别为）1,3,3,1的项，但是3（以3为系数的项）是零，所以你得到1和1。这表明你在每个素数世界中都有这种对称性。所以，你有这种由所谓的弗罗贝尼乌斯自同构（Frobenius automorphism）给出的加法对称性。这真是太好了！
奎伦已经暗示亚当斯猜想和弗罗贝尼乌斯之间存在某种关系，但那对我来说有点太奇特了。我想用亚当斯猜想的答案，我不想证明它。然后我听说——我还没有见过他——他不打算继续工作，因为他首先必须学习 格罗滕迪克（Grothendieck）的200 页并将其转移到他的环境中。好吧，他只写了完美的论文，它必须是完美的，否则他就不写了。
Q: 你说的是奎伦，对吧？
A: 是的，是奎伦。现在我添加了我后来发现的内容，因为我阅读了更多他的作品：每篇论文都是完美的。完美不是正确的词，它是最佳的。你不能做得更好。所以，我听说了这件事，我说：“好吧，我要假装这是真的，因为奎伦建立了这种联系，他本可以把证明写出来。” 然后我说：“但是等一下，我不能假装这是真的，我必须自己证明。” 但如果是真的，那就更容易证明了。因为你知道这是真的。这是一个拓扑定理，所以我一直在研究它。
我为它工作了六个月，在那个时候是一段很长的时间，因为事情发生得更快。
我把它简化为某种东西——它等同于某种东西——然后我尝试了很长时间来证明它，但我做不到。然后：我记得坐在草坪上，我记得那一刻，1967 年 8 月 19 日。我刚和家人从墨西哥开车到伯克利。我打算在那里呆两年。我在我们住的房子的草坪上坐了几天，直到我们找到了自己的位置，我想：“奎伦对这件事说了什么？” 他说：“弗罗贝尼乌斯！代数对称！在素数中！” 事实证明，它立即给出了我的条件，因此我得到了亚当斯猜想的证明。
照片鸣谢 Scott Sanden, Gyro AS从某种意义上说，那是一个庞加莱时刻。我花了一年的时间写出细节。有不同的细节，没有奎伦想象的那么不祥，所以我能够做到。
Q: 这催生了所谓的MIT麻省理工学院笔记，并广为流传并闻名遐迩？
A: 这催生了麻省理工学院的笔记，是的。你必须先定位，然后完成，然后再做所有相关的同伦理论。
Q: 然后你继续讨论准共形流形（quasiconformal manifolds）和 利普希茨（Lipschitz）条件。这种转变是如何发生的？
A: 你有点跳过了大约十年……但我们没有那么多时间！
Q: 是的，我们同意跳过有理同伦理论（rational homotopy theory），这真的很痛，但是……
A: 好的，但让我提出一点。代数几何和类似的东西只是做有限素数。事实证明，这个由素数确定的代数拓扑中的所有信息都具有这种额外的对称性，这与代数几何有关。但后来我想：“等一下，无限素数，阿基米德地方（archimedean place）呢？” 我不知道任何分析，或类似的东西。“不过，说不定跟微分形式有关？” 事实证明确实如此。这有点像代数做这部分，分析和几何做那部分。
Q: 它对所有理理论进行了开放分析。
A: 是的！
Q: 然后你证明在许多情况下上同调（cohomology）决定了整个有理类型；凯勒流形（Kähler manifolds）。
A: 是的，它有很好的推论。这个想法是用自然的方式表达信息。用微分形式表达无限部分、有理数、实数的信息是很自然的，这对于分析和几何来说是很自然的。
照片鸣谢 John Griffin / 石溪大学 / 阿贝尔奖Q: 所以你有关于伽罗瓦作用的素数的信息，你有关于无限部分的微分形式的分析？
A: 所有这些都与拓扑有关，对。但是，继续下去，所有这一切都令人沮丧，因为它在流形之外。它们有点像不变量。我喜欢关于流形内部事物的事实。叶状结构（foliations）或动力系统（dynamical systems）和分形集（fractal sets），这些东西在流形内部，它们是由流形内部的无限过程构成的。所以我开始了解这些无限的过程。
这开始了动力系统部分。就好像只是顺从了内心的兴趣，没有任何逻辑上的理由。我会说，我又重新开始读研究生了。事实证明，理解二维流形理论的全纯部分的最好方法不是通过光滑结构，而是通过准共形结构。这是理解二维的最佳方式。它适用于某些无限的分形过程。无论如何，离开这个高度复杂的代数观点并回到最初对流形的兴趣是很自然的，比如动力系统——以及像动力系统这样的过程——在流形内部。我的意思是，物理过程发生在空间中，所以这就是科学中的其他一切。你知道，甚至是药；你的身体有装有液体的管子等等。
Q: 让我们多谈谈这些动力系统及其在研究流形中的重要性。也许我们可以从一些非常具体的东西开始，即 Denjoy（当茹瓦） 在 1930 年代对 Poincaré（庞加莱） 提出的关于没有周期点的圆微分同胚问题的回答。上世纪 70 年代，米歇尔·赫尔曼（Michel Herman）和他的学生 Yoccoz 对此进行了广泛的讨论和推广，其中包括回答Arnold（阿诺德）提出的一个问题。以此为背景，我们能否问你这个理论是如何影响你的愿望的，可以这么说，理解流形内部的东西？这与你给出的局部流形的图片形成对比，从外面看就像一滩牛奶——没有太多个性。
A: 让我首先提出一个问题来回答这个问题：“为什么了解流形很有趣？” 都是关于空间。好的，我们已经完成了数字方面的工作，但是为什么它真的很有趣呢？好吧，我们看到的所有过程都在空间中进行。所有其他邻域、ODE（常微分方程）、PDE（偏微分方程）、泛函分析所描述的东西，都是描述过程的一部分。组合学，计算机算法也是。所有这些都是关于时间过程的，但所有这些时间过程都在空间中进行。
那时我并不知道这一切，但我想了解更多关于流形内部发生的事情。一个小的动力系统可以在流形内创建一个有趣的分形集。如果你扰乱了那个动力系统，那个分形集仍然存在。它结构稳定。所以我必须学习诸如康托集、分形之类的东西。所以我开始了，我会说在我得到准共形映射之前几乎有十年的时间。
这是在 70 年代末。我在考虑动力系统和叶状结构，比如这个洋葱有叶状结构的想法。这是一张非常吸引人的照片，这些都是有趣的物体。瑟斯顿赶到现场，他震惊了所有人，包括我。不谦虚地，我不得不说我很聪明，能够欣赏我在看莫扎特弹钢琴。我的意思是，不是每个人都这样做，因为瑟斯顿不善于交流。
Q: 但他和 Thom 一样是你的英雄之一，不是吗？
A: 是的，但他比我年轻，他是我的弟弟英雄。这一切都符合我想要深入流形，了解更多几何事物的愿望。所以我开始学习动力系统，我了解了斯梅尔学校。然后，在法国，我开始去听 米歇尔·赫尔曼 的讲座，我遇到了他的学生 Yoccoz。米歇尔·赫尔曼 正在研究你在问题中提到的问题。事情是这样发生的：Denjoy 于 1974 年去世，而 米歇尔·赫尔曼 正在为法国数学学会撰写论文。赫尔曼开始谈论Denjoy的论证。所以，我学会了这个论证。然后 Herman 开始回答这些问题，完善 Denjoy 所做的工作。你必须记住，庞加莱在做天体力学，特别是三体问题。
这都是关于一维流形的。事实证明，从内部角度来看，它们实际上是最难的。
他们非常困难。赫尔曼分析了圆的微分同胚的非常精细的结构，我们在他产生结果的同时学习。我只是对此很感兴趣。例如，有一个很好的例子，涉及黄金分割数（golden ratio number）和斐波那契数（Fibonacci numbers），这让我很感兴趣。
Q: 这是你在 IHÉS（法国高等科学研究所）的时候吗？
A: 是的，在IHÉS。他在奥赛，步行穿过伊维特山谷。关于实线的有趣之处在于，有三种失真（distortion）在代数上表现得非常好。有度量距离失真（metric distance distortion）、比例距离失真（ratio distance distortion）和交叉比例失真（cross ratio distortion）；分别对应于度量几何（metric geometry）、仿射几何（affine geometry）和射影几何（projective geometry）。还有通常的链式法则。你取它的对数，这是一个很好的合成公式，现在你可以用这些更高的失真做另外两个合成。这些是我用来向自己解释赫尔曼工作的关键内容。
米歇尔·赫尔曼的定理占据了出版物 Mathématiques de l'IHÉS的一整期，我想把它归结为一些理解的关键时刻。你可以——经过几年的思考——把它归结为你可以通过电话告诉别人的事情。那是我的挑战：找到一个我可以通过电话告诉某人的证明。你必须理解它，你不能写下很多公式和计算之类的东西，你必须理解它。就像那样，渴望理解，就像有趣一样，你知道的。
但是，在 82 年，我听说物理学家发现了与相变（phase change）有关的惊人发现。你知道，水越来越冷，突然就形成了晶体，对吧？当所有这些刚性发生时。这就是所谓的相变。在物理学中有很多情况会发生这种情况。事实证明，物理学家已经在一个动力系统例子中计算过这样一个例子，你将某个参数调整到冰点，我会说，然后你得到了这个不可思议的东西：它可能依赖于无限多的参数，但它没有完全不依赖任何东西，它是通用的！
Q: 这就是费根鲍姆（Feigenbaum）首先发现的，对吧？
A: 费根鲍姆发现有这个速率（从另一个方向）。然后其他物理学家发现了——实际上费根鲍姆也发现了；他没有像其他人那样传达它——我会说，这是一种内在的几何形状，就像冰晶一样。
对我来说有趣的是，当时没有足够的技术来证明这一点。它是用数值计算的。
你可以用这个公式和那个公式，做这个无限的过程，计算，然后——宾果游戏！豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）是0.5308…，或类似的东西。所以，这是一个正确的定理，它是精确制定的。引号是正确的，因为它在数字上是正确的。现有的技术不足以证明这一点。事实证明，你只需要在 米歇尔·赫尔曼 和 Yoccoz 的东西上再添加三个东西，然后你就可以证明它了。但它花了八年时间。
我的想法是，我可以停止我正在做的任何事情，只做这个，不会有任何反例，你知道的。证明需要新的数学。
Q: 而你是提出证明的人？
A: 是的，我找到了它，花了八年时间。
Q: 那是在82年？
A: 那是在 90 年代。当我听说这件事时，已经是 82 年了。
Q: 与此同时……
A: … 同时？我只是在做这个。可能还有其他东西出现在出版物中，但我没有做其他任何事情。
Q: 例如非游荡域定理（non-wandering-domain theorem）？
A: 不，那是81年。
Q: 85年出版的？
A: 不不不，已经结束了。我在准共形映射中；Ahlfors 和 Bers 的理论涉及动力系统。到 1980 年，这已经是既成事实。
Q: 你得到这个关于非游荡集（non-wandering sets）的结果一定非常鼓舞人心。
A: 这很明显。从理解中可以看出。
Q: 但这对Fatou（法图）来说并不明显。
A: 不，但他没有这个准共形映射理论，这个变形理论。
Q: 证明这一点，你一定很满意吧？
A: 哦，不不不，你误读我了。这些奖和东西很好，但这不是重点。解决问题不是重点，理解是重点。到那时，当你明白 Ahlfors 和 Bers 在做什么时，这就像一个庞加莱时刻，你说：“这里的这个理论可能在另一个理论中非常有用”。这些是不相交的宇宙，做这个Fatou-Julia的事情，然后把技术转移过来。
Q: 你现在是在谈论你的字典吗？
A: 那是我字典的第一个条目，对。
Q: 在你证明非游荡域的论文中，你在介绍中陈述了字典。但是你是否使用你的字典来证明，比如说，非游荡的结果？
A: 我用了。有一种叫做Ahlfors 有限性定理的东西，你可以利用它起作用的东西，然后在另一个领域重新构造它。它实际上是在使用比较，对应。
非游荡结果，即法图定理（Fatou theorem），对应于该克莱因群范畴（Kleinian group category）中的一个已知定理。这是关于理解的概念，而不是名称，不是它是什么领域，而是数学概念是什么。数学思想在这里是一样的。
Q: 这是否就像你刚才告诉我们的那样，一旦你知道某件事是真的，证明它就容易多了？字典是否在这方面提供某种指导——你知道什么是真的吗？
A: 不，就像你安排派对一样：你必须有足够的饮料，足够的食物。我的意思是，你必须有足够的东西。你必须提供座位。回想起来，你可以说法图问题对应于在Ahlfors和Bers这里已知的东西，好吗？
底层的数学是相同的，这是令人满意的。但这太明显了，并不令人兴奋。这个想法是，如果你从结构的角度来思考，这里的结构和那里的结构是相同的，两个例子，相同的结构。
Q: 所以我们在谈论你在克莱因群和二次或复动力系统之间的字典，如果你愿意，对吧？
A: 那是字典中的一项。字典说：“这里的每一个项目，都应该有一个对应的项目，因为两个宇宙的基本元素是相同的。事实上，我曾经在一次会议上向莫斯托（Mostow）介绍过 Bers（贝尔斯）。Bers问道：“你为什么要介绍我们？我们认识多年，我们是亲密的朋友，但我们从不谈数学”。就像他自豪地说的那样。我说：“嗯，我有这个定理。如果你做这个就是Mostow定理，如果做这个就是你的定理。”
Q: 他们对此有何反应？
A: 你知道，人们在他们舒适的世界里，它已经丰富而美丽，他们在那里很快乐。我不是那样的，当我开始理解某事时，我开始想以某种方式移到旁道。
Q: 所以，你有字典，你告诉我们的是，这两件事的基础数学是相同的。但不是出于任何特殊原因；是一样的吗？有时你有两个不同的数学问题，你处理它们的方式，或者它们的组合工作的方式是一样的，没有明显的原因。
A: 不，问题是：“在每种情况下，数学中涉及的基本元素是什么？” 在这种情况下，动力系统实际上具有某种形式，一种称为超有限（hyperfiniteness）的技术形式，与冯·诺依曼代数有关，也与黎曼的复结构变形思想有关。好的，就这两个想法。
有一个潜在的复结构，由动力系统保留。这些被称为全纯动力系统。该技术可用于整个领域。但在此之前，有一个称为Fatou–Julia理论的领域和一个涉及庞加莱极限集和不连续域等独立域。这是两个不同的域。被复分析师占据，而在现代，被动力系统的人占据。底层讨论的基本元素是相同的。这里的每一个进步都应该与那里的某些东西相对应。
只是简单地看待事物，没有言语。我不让我的研究生使用名字，他们不能使用任何专有的名字。他们必须在英语句子中就基本概念（如线性代数或整数）说他们到底在说什么。如果他们不这样做，我会在口头上扇他们一巴掌。
Q: 众所周知，你对数学的兴趣非常广泛，并且你看到了其他人看不到的联系。但是我们能不能问你一个挑衅的问题：有没有什么类型的数学你不喜欢？
A: 不，因为有这幅挂毯，所有的一切都是相连的。它就像你身后的挂毯，到处都是。一切对我来说都很有趣。
Q: 现在流体动力系统进入。你能告诉我们这件事吗？为什么？好的，你最后有一个妙语，我们不会为你剧透。
A: 我忘了 …
Q: 哦，你答应用庞加莱的组合拓扑代替牛顿的微积分。
A: 哦，对，当然是的，但这不是妙语，而是主题。这个想法是，是的，快速的数学历史，对：我们有希腊人，两千多年前他们有他们的问题。牛顿出现了，他和莱布尼茨一起发明了微积分。突然之间，希腊人的一堆问题就迎刃而解了。你可以计算新事物的体积。因为使用微积分你会忽略高阶误差项。0.1 位的误差和 0.001位的误差，你忽略所有这些，只是试图得到第一部分。然后公式很简单，你就会得到这个美丽的理论。
但是，你知道，如果你看着物理学家的眼睛问，他们会说：“连续统（continuum）不存在。” 连续统不存在，因为，我们对它了解多少？原子模型，基本粒子，没有低于小数点 33 位的物理。没有物理理论，你甚至不能谈论低于它的距离。
另一方面，微积分理想运行良好，我们有引力，爱因斯坦的理论。顺便说一句，爱因斯坦的理论并没有与标准模型相关联，标准模型是基本粒子相互作用的方式，这些小距离下降到普朗克尺度（Planck scale）。事实上，普朗克尺度是一种可以与重力和强大的自然力相媲美的尺度。
甚至物理学家也使用连续统……就像以宗教方式一样！好像它存在一样！他们知道这不是真的，因为牛顿的微积分导致经典物理学被量子理论否定。但它是如此美丽！表示论（representation theory），李群（Lie groups），太美了，他们可以做模型，模型有效！但不知何故，没有任何基础，缺少一些东西，对吧？在物理理论中。
所以，流体力学一直处于经典力学和量子力学讨论之间，你可以说，统计讨论。它介于两者之间，并且在三维......嗯，在理论上，它已经在二维中被计算出来了，不是计算上的，而是理论上计算出来的。出于同样的数学原因，Ahlfors-Bers 理论和变形理论有效，分析，它与此相关，我理解这一点。那是我进来的一个原因，我明白这一点，并且该理论的一半适用于三维，但不是另一半。
在 91 年或 92 年，我很惊讶地听到这些基本的三维流体动力系统方程在理论上没有得到理解——无论它们是否有解——因为在二维中一切都很清楚，我明白为什么。它们被世界各地的工程师用来生产石油，被医生用来修复动脉瘤。后者在动脉瘤内部使用一点湍流（turbulence），在这里做一点支持的事情，医生一天可以做几次，他们可以把随时可能死亡的人救起来。
三维流体动力系统怎么会如此神秘呢？大约在同一时间，人们能够很好地将东西放在计算机中，但现在每个方向仍然有大约一千个网格点的限制。千千千，也就是十亿。你计算一下，但是有一个矩阵问题，十亿个，所以这是遥不可及的。因此，人们可以计算的内容有这个明确的限制。这个数学问题，实际上后来成为这些千禧年问题之一，我已经研究了大约十年，它是美丽的、精确的等等。但这不实用。真正重要的是：在可以计算的范围内，你能理解什么？然后也许也能证明定理。
我的想法是，这都是关于空间的——空间中发生的过程。你有牛顿连续统，它给你一个美丽的空间代数图，你有微分形式，微积分，莱布尼茨的乘积规则，你知道的。伟大的！事实证明，如果你将问题离散化并放在计算机上，则必须做差商（difference quotients）而不是微分（derivatives），并且它们不满足具有h²-误差，除以 h,仍然是h-误差。但是之后h趋向于。那是在每个计算中的那个误差项。所以这个想法是，他们知道这一点，数值分析师知道这一点，当然，他们比我更了解这一点，但他们似乎没有理论上的方法来处理它。所以，这个想法是，或者 Poincaré 告诉我们，对于所有这些拓扑结构，我们之前讨论的所有数字游戏，这是相当深的，必须通过将空间分成小块来完成，并用它做一些组合。所以，这就是组合拓扑，它可以让你理解非线性方面，它有一个乘积结构。这一直是我理解的主题，现在我已经在这方面工作了三年，我认为我最近取得了一些进展。
Q: 为了计算流体力学中的任何东西以及类似的东西，我们必须进行离散化。你是说我们应该把它作为一个主要的研究对象吗？
A: 是的！我们应该研究完整的代数拓扑——这又回到了开始：庞加莱对偶，交叉，事物如何相交，这就是环结构（ring structure）。要知道，流形中的这些对象可以相交，从而形成环结构。
Q: 你认为我们一直在谈论的纳维-斯托克斯问题（Navier–Stokes problem）是最难的千禧年奖问题之一吗？
A: 不知道。我甚至不关心它是一个千禧年问题。我很想证明这一点，但我宁愿理解它的一些变体。我的意思是，是什么让这本词典的东西在某种程度上如此有趣，那里有几枚菲尔兹奖章之类的东西，是因为他们有这些曼德布洛特集（Mandelbrot set）的图。有一次，我们正在处理它时，一位服务员走过来，他说：“哦，那是 Mandelbrot 集”。每个人都知道Mandelbrot集，对吧？Mandelbrot集有很好的计算，你可以放大到任何比例，它变得越来越复杂，它很漂亮，就像蕨类植物什么的。然后你更深入，然后有一个新事物，你知道，它是精确的。这导致了许多陈述和猜想，其中一半已经成为定理，其中一半仍然是开放的。因此，它一直是一个非常活跃的领域。一般来说，我们对流体没有这么好的计算。我们还不够了解。如果可行，我们可以尝试：很好。如果它不起作用，你知道：不好。所以，我们的想法是对这个问题进行更多的概念性工作。
使用 Poincaré 的想法，将空间分解为组合片段，查看它们如何相互作用，放置其他片段来覆盖揭示 Poincaré 对偶性的中断，并将所有这些放入处理 Navier-Stokes 方程的计算机程序中。
Q: 你已经多次说过，大道至简（simplicity is the thing）。当 Atle Selberg（塞尔伯格）在他去世前两年接受采访时，他非常强调的一件事是，我们用挪威语的直接翻译引述他的话：“我相信简单的东西会在数学中幸存下来。” 你同意吗？
A: 哦，是的，当然。最明显！你知道，就像螺丝刀一样。如果它简单且有用，它将永远持续下去。我会更进一步，数学的目标是简化一切。我认为复杂的事情可以简化。
Q: 实际上，塞尔伯格提到赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）是一个可以进攻问题、简化问题并解决问题的典型代表。
A: 我认为这是一个很好的方法，因为有这些基本点，就像我和研究生描述的时刻一样，组织一切。你知道，它们不容易找到。什么是中心点？你不知道先验。你首先要了解它，它与结构有关：情况的结构是什么。有点“格罗滕迪克式”。
Q: 现在的时间是 …
A: 我不累！我知道这种现象；如果时间晚了，而与之交谈的数学家很累，那么就问他一个关于他在做什么的问题，对吗？然后他开始说话，突然他又充满了活力！
Q: 这将是最后一个问题，我们保证！在我们的预备会议上，我们提到了 1828 年阿贝尔的一句话，我们希望你能评论一下。
一个人对一个问题应该给出可以解决它的形式，这是任何问题都可以做的。在以这种方式提出问题时，它的实际措辞包含了解决问题的萌芽，并表明了人们应该采取的路线。我以这种方式处理了分析和代数中的几个主题，虽然我经常给自己提出超出我能力的问题，但我仍然获得了大量的一般结果，这些结果广泛地阐明了这些量的性质，其中的知识是数学的对象。
你对此有何评论？
A: 问题的提出非常重要。更重要的是，给定的问题可能不是问题的正确表述。每个问题都存在，如果它是明确定义的，但它可能有一个稍微不同的问题版本，更自然并且会成功解决，你知道的。
我愿意改变问题，而听起来阿贝尔正试图将问题视为既定问题并将其置于最佳视角。我也愿意把问题稍微改一下，改成可以解决的，对吧？但我当然同意这一点。
我注意到的另一件事，我已经做了很长时间了,就是当一个主题有一点完成时，你可以回头看，你知道，马逃跑后很容易关上谷仓的门。你知道你应该以前做过。当你看到最后的故事时，你会说，“天哪，如果我们从这里开始，那么这样做是很自然的，然后你会很快到达那里。” 仅使用发生的事情的简单情景。
因此，如果你没有这种情况，请寻找它。阿贝尔就是这么说的。
Q: 我们代表挪威数学会和欧洲数学会以及我们两人，非常感谢你接受这次最有趣的采访。
A: 这是我的荣幸，我向你保证！
Q: 谢谢！
原文链接：
https://euromathsoc.org/magazine/articles/108
