外尔的哲学思想与其数学物理
研究之间的关系
郝刘祥[①]
摘要 文章基于原始文献，分析了外尔的哲学思想与其数学物理研究之间的平行关系。作者认为，外尔的数学物理研究基本上是一个紧凑的三部曲：外尔几何与统一场论 Þ 空间问题与物质问题 Þ 群论与量子力学；相应地，外尔的哲学思想经过了三个阶段。在其发展纯粹无穷小几何以及统一场论期间，他倾心于费希特的唯心论哲学；在其探索空间问题的时候，胡塞尔的现象学取代了费希特的唯心论哲学；而在探讨物质问题的时候，他在一种程度上接近了神秘主义和存在主义的思想，并将数学物理理论看作是关于实在的符号构造体系。
关键词 外尔 统一场论 空间与物质 费希特唯心论 胡塞尔现象学 神秘主义 存在主义构造主义
赫尔曼·外尔（Hermann Weyl, 1885—1955）无疑是20世纪最重要的数学家和数学物理学家之一，或许还是庞加来（Henri Poincaré, 1854—1912）和希尔伯特（David Hilbert, 1862—1943）之后最全面的一位数学家。但外尔不单是一位数学家、一位数学物理学家，同时还是一位文学鉴赏家、一位史学爱好者，以及一位对哲学有着精深研究的学者。在外尔身上，绵密的科学探索和广博的人文修养相行不悖。在纪念外尔诞辰100周年活动上，外尔的次子迈克尔（Michael Weyl）说他是一位“有着诗人灵魂的数学家父亲”[Chandrasekharan 1986, p. 100]。
当然，外尔不是一位专业哲学家；他也无意成为一位专业哲学家。1916年，当胡塞尔（Edmund Husserl）接受了弗莱堡大学的聘请而离开哥廷根时，曾邀请外尔接替他的哲学职位，但外尔没有接受。外尔认为，科学探索和哲学反思是相辅相成的：
在人类的精神生活中，存在两个有着清晰分野的领域，一个是行动、创造和建构的领域，一个是反思的领域。前者是积极行动着的艺术家、科学家、工程师和政治家献身的领域，在科学范围内它处于客观性的标准之下。后者一向被视为是哲学的领地，它是理智中进行的判断，是围绕我们行动的意义而进行的绞尽脑汁的思考。创造性的活动，若没有反思的督查，就有失去意义、误入歧途和陷入僵化的危险。反之，反思就有变成跛行的、与人类的创造力无涉的“奢谈意义”的危险。[Weyl 1968(1954), IV, S. 631- 632]
既然外尔把哲学理解为对于行动的意义的反思、对于思想和现实中的困境的积极的或消极的应战，我们就必须深入到外尔的生活经历和科学工作之中才能把握他的哲学脉搏。自古以来，哲学家都是一只眼睛紧紧盯住自己的内心世界，另一只眼睛抓住现实生活不放，试图为现实生活中的困境打开一条出路或是找到一个避风的港湾。外尔也不例外。与近代专业哲学家不同的是，外尔在现实生活中面临的困境不仅有普通生活中的难题，还有来自精密自然科学领域中难以解答的问题。外尔不仅亲身经历过两次世界大战，经历过一战前德国的恶性通货膨胀、两次大战期间德国纳粹的兴起以及二战后的核军备竞赛，还亲身经历过数学基础危机、物理学中相对论变革和量子力学革命。
本文所要考察的，是外尔在空间、时间和物质方面的数学物理研究与其哲学思想之间的关系。外尔关于空间、时间和物质的研究始于爱因斯坦的广义相对论及其数学基础――微分几何学和微分不变量理论。在此基础上，外尔建立了他的“纯粹无穷小几何学”，并把它作为统一电磁场和引力场的数学结构[郝刘祥 2003&2004]。对于自己亲手建立的统一场论，外尔无疑钟爱有加。但这个理论遇到了两个巨大的困难，其一是与物理事实不相容，其二它没有达到预期的目标――给出场的类粒子解。面对前一个困难，特别是爱因斯坦的有力反驳，外尔的反应是强调他的统一场论在数学上的合理性，这就促使他去询问所谓度量的本性（die Natur der Metrik）或空间的本质（das Wesen des Raumes）这个问题，而这个问题又进一步引导他去研究李群的不变量和表示理论。对于第二个困难，所谓物质问题，外尔在前量子力学时代采用了一种特殊的策略：他把物质看成是场或物理时空的动力之因（dynamical agent）；物质处在物理时空之外，我们只能通过它的场效应来赋予它以几个特征数，比如质量、电荷等等。换句话说，物质是从场效应中构造出来的东西。量子力学诞生之后，物质的波粒二象性使得外尔放弃了物质作为场的动力因的理论。在外尔看来，存在现在变成了一个神秘的深渊，一个有赖我们拼补的图片。令外尔感到值得欣慰的是，面对这个存在的深渊，我们人类能够为它建立一幅数学图像，并且是带有数学美感的图像。因此，如果我们试图为外尔的数学物理研究建立一个简明图示，那它基本上就是一个紧凑的三部曲：
外尔几何与统一场论
Þ 空间问题与物质问题
Þ 群论与量子力学
这个三部曲的序曲是黎曼几何与广义相对论，而尾部则是一个小夜曲：大自然的数学美，特别是大自然中无所不在的对称性。
伴随着这个三部曲，外尔的哲学思想相应地经过了三个阶段。在其发展纯粹无穷小几何以及统一场论期间，他倾心于费希特（Johann Gottlieb Fichte）的唯心论哲学；在其探索空间问题的时候，胡塞尔的现象学取代了费希特的唯心论哲学；而在其开始探讨物质问题的时候，物质开始显现为一个存在的深渊，而这个深渊随着量子力学的诞生变得更加神秘，这使他在一种程度上接近了神秘主义和存在主义的思想。但外尔并没有陷入存在主义的泥潭之中，他只是感到在存在主义对人的状况的描述与量子物理学对于世界状态的描述之间有着某种平行性。外尔的希望是，面对世界的超验性，我们人类应该放弃自身的“傲慢”(hubris)，在现实生活中建立一种“与在”(seined-mit) 或者说“共饮”(conviviality) 的模式，而在科学研究中则满足于把我们的理论看作是关于实在的符号构造体系。当然，外尔哲学思想的转变并不能完全归因于其科学思想的转变。事实上，外尔迷恋费希特的哲学与一战留给他的心理创伤有关，而其接近雅斯贝尔斯（Karl Jaspers）和海德格尔（Martin Heidegger）的存在主义哲学，更与二战前后人类的生存状况有着莫大的干系。
一统一场论与费希特的唯心主义
同爱因斯坦一样，外尔的哲学兴趣也是由康德的著作启蒙的。1954年5月，外尔在洛桑接受Arnold Reymond奖的讲演《认识与思考：生平回顾》中，曾动情地回忆起初次了解康德思想所经历的震动：
我常常回忆起，我是如何在中学临毕业的前一年、在我父母房子的顶楼房间里找到了一本霉点斑斑的1790年版康德《纯粹理性批判》注释本。从此我了解了康德关于空间与时间的观念性的学说，它深深打动了我的心灵：我猛的从“独断论的迷梦”中苏醒过来，从此这个男孩的精神就以激进的方式对世界产生了疑问。[Weyl 1968(1954), IV, S. 632]
外尔中学临毕业的前一年应是1903年，外尔当时已18岁。这里似乎有必要对康德的时空学说简单提几句。康德认识论的基本目标，就是要解决牛顿力学如何成为可能的这个事实。康德认为，时间和空间并不是某种与意识无关的自在之物，而是根植于我们精神中的直观形式。既然时间和空间是知性的直观形式，我们就不难理解欧氏几何中基本事实的显明性 (Evidenz)。康德区分了分析判断与综合判断，前者如重言式命题“圆环是圆的”，后者如牛顿的引力定律。分析判断是先天的，其真假与经验无关。但康德认为先天综合判断也是可能的：几何命题显然是综合的，但又具有不依赖于经验的显明性，因此是先天的综合判断。
1904年，外尔进入了哥廷根大学，师从希尔伯特。当时，希尔伯特刚刚出版他的《几何学基础》，这部著作以一种欧几里德远未达到的完备性处理了欧氏几何的公理体系。通过希尔伯特的这部著作，外尔开始接受了现代的形式化公理化方法，并且觉得康德把几何命题看成先天综合判断的观点过于幼稚。在《认识与思考》中，外尔谈道，“康德的哲学体系在这次巨大的撞击之下在我心中彻底坍塌了，而以前我对它是深信不疑的”。[Weyl 1968(1954), IV, S. 633]
在这之后，外尔便以巨大的热情投入到数学的研究之中。他对认识论的兴趣虽然没有完全隐退，但也只是满足于阅读庞加莱的《科学与假设》、朗格 (Friedrich Albert Lange) 的《唯物主义史》以及马赫（Ernst Mach）的著作。在《认识与思考》中，外尔为我们讲述了他首次作出重大数学发现的感人情景：
就我而言下一个划时代的事件是我在数学上做出了一个重要的发现。这是关于一个连续广延介质，例如一片薄膜、一个弹性物体或者电磁以太，振动的本征频率的分布规律问题。灵感是众多想法中的一个，每一个献身科学的年轻人都会产生这类想法；尽管大多数想法会像肥皂泡一样很快破灭，而这一个就像经过简单检验表明的那样成功地达到了目标。我当时对此感到极为惊讶，因为我根本不相信自己会解决这类问题。再者，尽管这个问题的结论物理学家早已猜到，但在大多数数学家看来，该结论的证明尚在遥远的未来。当我狂热地专注于完成证明的步骤时，我的煤油灯开始冒出黑烟；当我完成证明并处于幸福之中时，稠密漆黑的烟斑就像雨点一样从天花板上落到我的纸上、手上和脸上。[Weyl 1968(1954), IV, S. 636]
外尔这里所谈的，是其1911年关于希尔伯特空间中紧自伴算子本征值的渐近分布规律的研究。1911至1914年，是外尔在数学研究上的第一个高峰期：1913年，外尔运用邻域概念和单纯形方法对黎曼面的概念做了第一个严格的现代处理；1914年，他在模1数的一致分布理论上获得重大进展。接下来便是第一次世界大战，外尔作为后备役的一员应征入伍，在Saarbrücken附近驻扎了将近一年。当他于1916年春回到苏黎世联邦理工学院时，外尔形容自己的数学心灵就像任意一个老兵一样空白。
也就在此时，爱因斯坦1916年3月20日第一次系统总结广义相对论的文章《广义相对论基础》转到了外尔手中，并使外尔一头扎进了广义相对论及其数学基础的研究之中。1917年夏季学期，他就在苏黎世联邦理工学院开设了广义相对论课程，该课程的讲义随后以《空间时间物质》[Weyl 1950(1922)] 为名出版。这是历史上第一部广义相对论的教科书，它的风行迅即奠定了外尔作为广义相对论的权威的地位。1916－1918年，外尔在厘清广义相对论的概念基础及其数学结构的同时，对广义相对论做出了第一个极富启发性的推广，这就是外尔的纯粹无穷小几何以及外尔的统一场论。
就在外尔推广黎曼几何、探索统一场论的同时，他的哲学兴趣也复活了。在哥廷根期间，外尔的哲学思想一度受到过胡塞尔的影响，并使他摆脱了实证主义的桎梏而走向一种相对自由的世界观。现在，在外尔奋力开拓几何与物理研究的时候，胡塞尔那种小心翼翼的思想再也无法满足外尔的精神了：
在苏黎世，我夫人和我通过F. Medicus的介绍而接触到费希特的知识学（Wissenschaftlehre），我夫人常常光顾Medicus的讨论班。胡塞尔的现象学曾小心翼翼地开始触及的形而上学唯心论，在这里得到了率直、有力的表述。他一下子抓住了我，但我也不得不向我夫人承认，费希特在追逐一个观念时完全不顾自然与事实的固执常常将自己卷入晦涩难懂的构造之中，而我夫人更重视胡塞尔那谨小慎微的方法而不是费希特那大胆鲁莽的做法。[Weyl 1968(1954), IV, S. 637]
事实上，尽管外尔的夫人努力想把外尔从费希特拉向胡塞尔，1916至1920年期间，费希特的哲学对于外尔有着一股不可抗拒的吸引力。这股吸引力源自何处呢？我们不妨看看外尔1954年洛桑讲演中对费希特哲学的评价：
费希特在其知识学中表达了比胡塞尔更为激进的认识论的唯心论立场。他根本就不是一个现象学者，他是一个纯净水般的构造主义者：绝不环顾左右，行进在其独辟的构造主义道路之上。在许多方面，他令我想起保罗。两人具有同样的思想上的粗陋性，但由于其执着的坚定性而变得令人着迷。两人同样对经验完全漠然视之――就保罗而言特别是漠视关于真实的基督生活的见证。两人同样固执地、不容异议地相信一个浮夸的构造，就费希特而言他的用语鲜明地表露了这一点，如…《面向广大群众的、关于新哲学的真正本质的、太阳般明亮的报告，迫使读者理解的一个尝试》。两人都有宗教狂热的气质，对于别派思想间或极度诋毁。[Weyl 1968(1954), IV, S. 641－642]
从这段话可以看出，晚年的外尔对费希特的哲学仍然抱有崇敬之情。“一个纯净水般的构造主义者”这个断语安在1916－1920年间的外尔身上是最合适也不过了。回过头来看一看外尔自己对于纯粹无穷小几何及其统一场论的态度，就不难明白缘何费希特尔的哲学能在外尔心中引起共鸣。所谓纯粹无穷小几何，或曰外尔几何，是黎曼几何的头一个推广。黎曼几何，粗略地讲，就是在无穷小范围内毕达哥拉斯定理仍然成立的几何。但外尔认为，黎曼几何尚不是一种纯粹的无穷小几何，因为它容许矢量的长度直接作远程比较。外尔认为，在一种真正的、纯粹的无穷小几何中，这种矢长的远程比较是不合法的，它背离了近邻作用原则。本着这个朴素而又显明的观念，外尔建立了自己所称的纯粹无穷小几何。在这种几何中，矢量在平移时不仅方向是不可积的，而且长度也是不可积的，也就是说依赖于矢量平行输运的路径。在外尔几何中，空间任一点无穷小邻域内，毕达哥拉斯定理仍然成立。它与黎曼几何的区别，形象地讲，好比空间中每一点都有一个自己的钟与尺。长度的不可积，相应就要引进一个长度联络，用来联系空间中紧邻两点之间的长度标准。有了长度联络，类似地可仿照黎曼曲率概念定义长度曲率。随后，外尔将这个长度联络和长度曲率解释为电磁势和电磁场强，这样一来，电磁场和引力场便统一在外尔几何的框架之内。真可谓“绝不环顾左右，行进在独辟的构造主义道路之上。”遗憾的是，这个统一场论与自然界并不相符。面对爱因斯坦的反驳，外尔除了强调自己的理论具有数学上的显明合理性之外，再也做不出有力的抗辩。但外尔并不愿意轻易放弃自己的理论，并不愿意直接面对经验的反驳，那么他到哪里去寻找慰籍呢？
答案自不待言，那就是费希特的先验唯心论。费希特把所有的哲学体系分为两类：独断论和唯心论。按照费希特的解释，独断论把物自体、把外在世界的实在性放在第一位，彻底的独断论者就是唯物主义者。相反，唯心论把绝对自由的自我放在第一位，物自体不过是这个自由的自我的表象。如此一来，独断论与唯心论就是无法相容的，因为在独断论看来自由的自我也是物自身的产物。费希特认为，“独断论者与唯心论者之间的差异的最后根据，就在于他们的兴趣的不同。而最高的兴趣、一切兴趣的基础，就是那种为我们自己的兴趣。”[费希特1975a，页182] 独断论者为了他们自身而相信物的实在性，他们还没有真正感受到一个自由的、独立的自我，只具有那种经过物的反射而来的、散漫的自我意识。“因此”，费希特讲，“人们选择哪一种哲学体系，就要看他是哪一种人。… 一个天性萎缩或由于精神的奴役、博学的奢华与虚荣而变得萎缩的人格，将永远不能把自己提高到唯心论的程度。”[费希特1975b，页193]
按照费希特的先验唯心论，理智是第一性的、能动的。理智按照自己的本性或者说必然规律而行动，而理智的本性是在理智的行动历程中赋予理智自身的。理智，由于自己的本性，只能按照规定的方式行动，甚至在一种条件下只有一种规定了的行动方式。因此，从理智的行为中只能引申出规定了的表象，也就是说引申出一个世界的表象、一个无需借助我们而存在的、物质的、占据空间的世界的表象。还是让我们直接引述费希特本人的阐述吧：
唯心论的方法是：要求人们思考一个确定的概念或事实。实现这一思考行为的必然方式，根植于理智的本性（Die Natur der Intelligenz）。与特定的思考行为本身相反，思考行为的必然方式不以任何人的意志为转移。它是某种必然性的东西（Notwendiges），但仅在一个自由的行为之中、伴随一个自由的行为才出现；它是某种被发现的东西（Gefundenes），但它的发现是以自由为条件的。就此而言，唯心论在直接的意识中表明了它所断言的东西。而唯一的假设是：那个必然性的东西是全部理性的基本规律，从它那里能够引申出我们的必然性表象的整个体系，不仅是关于一个世界的表象――该世界的客体是由概括的和反思的判断力来确定的，而且也是关于我们自身（作为在规律之下自由的和实践的实体）的表象。唯心论必须通过实际的推演来证明这个假设，证明的途径是：唯心论要表明，那首先作为基本原则而确立的东西和在意识中直接指明的东西，除非同时有另一个东西出现，否则就是不可能的；而这另外一个东西的出现也是不可能的，除非同时有第三个东西出现；如此等等。…作为最后的结果，作为那首先被确立的东西的一切条件的总体而出现的，就必定是一切必然性表象的体系或全部的经验。[费希特1975b，页203－204，译文稍有修改]
因此，按照费希特的唯心论，先验的东西和后验的东西是完全重合的，两者实际上是同一个东西，区别只在达到它的方式：就其作为理智的推演结果而言，它就是先验的；就其作为经验赋予的而言，它就是后验的。费希特的唯心论之路，就是由一个出现在意识里的东西走到全部的经验，而这个出现在意识里的东西仅仅是一种自由思维的产物。按他的说法，“如果一个哲学的结果与经验不相符合，那么这个哲学一定是错误的”。[费希特1975b，页205]
至此我们就很容易理解外尔为何要皈依费希特哲学了。上文引述的费希特关于唯心论方法的论述，外尔在洛桑讲演中同样引用了。尽管外尔把它描述为“耸人听闻的”，同时又不得不承认，“在构造主义与现象学的对立中，我的同情心完全站在构造主义一面。”[Weyl 1968(1954), IV, S. 643] 1954年距离1918年，36个春秋过去了。年近古稀的外尔肯定不再像年轻时代那样激进和狂热了，但从这里我们仍然可以想象出外尔当初阅读费希特《知识学》时的切身感受。既然外尔相信他的纯粹无穷小几何是从理智的必然性之推演出来的，是凭借理智的必然本性而构造出来的，那么它一定与自然界相符。外尔一度强调，从光线和自由下落的粒子的观测中，我们得到的是外尔几何而不是更狭隘的黎曼几何。至于它与氢原子光谱相抵触的事实，也就是外尔度量何时归约为伪黎曼度量的问题，外尔设想必定与原子系统的复杂结构有关——原子系统毕竟不是广义相对论中的简单客体。
外尔在1916－1921年间的文章中很少提到费希特，只在晚年每每提到费希特，以致人们认为，在外尔整个年轻时代一直受胡塞尔思想的影响。从现在的材料来看，正如E. Schulz等人所强调的，外尔在建立统一场论这段激进的岁月里，确实对费希特的哲学“心有戚戚焉” [Schulz 2002]。这种精神上的契合，反映出两人在性格上有着某些共同之处。费希特讲，什么样的人就有什么样的哲学。《通向哲学的后楼梯》一书的作者告诉我们，费希特在其一生中，一方面想急切地大干一番事业，另一方面又渴望在思想的海洋里畅游。“回忆一下这个人的一生，研究一下这个人的性格，我们就会发现，他的哲学思想同样是行动与思想构成的一张网。一个如此注重实践的人，在其哲学体系中，行动，也就是说行动着的自我，必然占有十分重要的地位。另一方面，一个如此地发自内心喜欢沉思的人，现实存在掩盖着的秘密必然向他开启。费希特的哲学思辨正是如此。它以绝对的、无条件地行动开始，以行动着的自我陷入上帝的深渊而告终。”[魏施德 1998，页204]《知识学》的作者是早年的费希特，此时行动着的自我尚未陷入上帝的深渊。事实上，在这里，人对现实的控制力量达到了顶峰。对比一下外尔关于行动与思考不可或缺的论述以及外尔统一场论的宏伟目标，我们就会越发深切地感到费希特哲学对于激进时代的外尔的吸引力了。
二空间问题与胡塞尔的现象学
从1920年开始，外尔对于自己的统一场论不再那么狂热了。个中缘由，既与希尔伯特的批判有关，也与这个统一场论自身的困境有关。外尔对于这个统一场论方案的信心，正如他在回答爱因斯坦的异议时所强调的那样，源自这个理论在数学上的直观的、显明的合理性。这就促使外尔进一步挖掘纯粹无穷小几何的概念基础。外尔几何的基本假设是：空间中任意一点的线元长度可以表示为二次齐次微分式的平方根，或者说，在无穷小范围内毕达哥拉斯定理成立。外尔把这个假设称为度量的本性或空间的本质，意思是说这个性质在空间中任意一点都是成立的。空间中各点不同的是，局部坐标系中度量二次型的标度因子和各项的相对系数，也就是外尔所说的“度量在各点的相对定向”。外尔现在询问，这个假设的依据、它的合理性何在？能否从一个更原始的、更直观的概念或公理出发来证明这个假说？这个问题即外尔所称的“空间问题”（das Raumproblem），它实质上是赫姆霍兹－李问题的推广，赫姆霍兹和李曾利用自由运动公理来刻画齐性空间的度量。但外尔空间一般不是齐性空间，因此赫姆霍兹－李的公理在这里并不适用。
外尔解决这个问题的基本思路是：首先定义无穷小合同转动（空间中各点的度量现在由各点的合同变换群来刻画），并假定空间中各点的合同变换群是相互共轭的（即度量的本性处处相同）；进而定义无穷小合同移动（及其等价类）和无穷小平行位移，并假定无穷小合同移动的等价类唯一地对应于一个无穷小平行位移（即度量的本性唯一地确定了仿射联络）。这后一个假定，在黎曼几何以及外尔几何中是以基本定理的形式出现的：黎曼或外尔度量唯一地确定了仿射联络，或者如外尔所说，度量的毕达哥拉斯性质唯一地确定了仿射联络。在这两个假设的基础上，外尔证明了：空间中任意一点的合同变换群共轭于伪正交群，即度量的本性是毕达哥拉斯性质的。外尔的用语，Die Natur der Metrik，让我们很容易想起费希特的用语，Die Natur der Intelligenz；外尔的基本假设――在度量的本性所容许的自由范围内，度量的本性总是唯一地确定了仿射联络，也仿佛是费希特的断言――理智，在自由的前提下，因其本性只能按规定的方式行动――的回声。这种明显的相似性，明白无误地表明了外尔的思想与费希特哲学的联系。但这种联系是属于历史性的。外尔虽然仍在使用“本性”（Natur）一词，但它已变成胡塞尔的“本质”（Wesen）一词的同义语。事实上，外尔常常用“空间的本质”这个术语来代替“度量的本性”的说法。
1921－1923年间，外尔对统一场论已经不再像几年前那样热衷了。与此同时，他也认识到费希特哲学的危险性，那种完全漠视经验、一意孤行的危险。外尔在巴塞罗纳和马德里的讲演《空间问题的数学分析》[Weyl 1977(1923)]，不是一首费希特式的狂想曲，而是一部胡塞尔式的室内乐。在《空间、时间与物质》第四版（1921）第二章“度量连续统”的末尾，外尔明确地宣布，空间问题的研究是胡塞尔现象学的本质分析的范例：
这里所进行的关于空间的考察，在作者看来，为现象学哲学所致力的本质分析（Wesensanalyse）提供了一个极好的范例。这一例典型地反映出我们常常把握不住（概念的）本质，而总是注意于非本质的东西。空间问题的历史发展告诉我们，对于陷在现实中的我们人类来讲，要得到一个明确的东西(das Entscheidende)有多么困难。漫长岁月中的数学发展、从欧几里德到黎曼几何学的巨大拓展、自伽利略以来关于自然及其基本定律的物理探究以及新的经验数据所带来的不断的刺激、最后还有那些伟大的心灵――牛顿、高斯、黎曼、爱因斯坦――的天赋才华，所有这些因素对于我们摆脱外部的、偶然的、非本质的特征都是必不可少的，否则我们就仍要被那些非本质的东西所迷惑。当然，一旦得到了新颖的、更广博的观点，理智便充满了光明，并且认识和领会到对它来讲是自明的东西(das ihre Aus-sich-selbst-Verständliche)。然而，虽然说理智在问题的整个进展过程中常常“接近”（dabei）这个观点，却不能一下子就看透或抓住它。哲学家的缺乏耐心应该受到指责，他们相信，仅仅依据一个典型的清晰、具体的回忆或想象(exemplarischer Vergegenwärtigung)，就能对本质作出恰当的描述。从原则上讲，他们是对的；但从人类的本性来讲，他们错得多么离谱！空间问题同时还是现象学中的一个问题的极富启发性的范例，这个问题在作者看来具有极端重要的意义，即：对（意识中显现的）本质的界定（Abgrenzung），在多大程度上表示了所予王国(das Reich des Gegebenen)的独特结构，又在多大程度上掺入了纯粹因袭的、约定的成分(Konvention)。[Weyl 1950(1922), pp.147－148；英译不好理解，这里参照德文本译出]
胡塞尔的现象学向来以晦涩难懂著称，这里笔者力图对之作一个尽可能清楚的简单说明。在我们的日常语言中，现象与本质是对立的。要是这样来理解“现象”一词，那么胡塞尔的“现象学”应更名为“本质学”。但“现象”一词还有“直接显现的”、“描述性的”这类意思，这倒是贴近胡塞尔的用法[②]。现象，在胡塞尔那里，就是在直观中显现的事物（或概念）的本质；现象学就是通过直观的方法把握并描述概念的本质。胡塞尔特别强调，这里的事物不必是外部世界中存在的东西，它只是我们意识中的意向对象。意向本是一个经院哲学术语，胡塞尔是从他的老师布伦坦诺那里借用过来的，意思是说意识活动，比如想象、判断或愿望，总有一个对象。这个对象，就是所谓的意向对象，比如我想到的天使。要把握事物或概念的本质，胡塞尔提出，就要用一种现象学的还原方法。这种还原分成三个步骤：
第一步，所谓“现象学的悬搁”，就是要彻底放弃偏见，把我们从科学、宗教、历史和日常生活中所接受的一切观念以及一切有关存在的判断，统统放进括号里面，终止对其做出判断，存而不论。从这里可以看出，现象学是一种批判哲学。它不是像笛卡尔那样怀疑一切，而是既不肯定也不否定地放在括号里面，所以胡塞尔也把自己的哲学叫做“新笛卡尔主义”[刘放桐等1981，页506]。
现象学还原的第二步，所谓“本质还原”，就是在直观中把握意向对象（比如一个概念）的本质，相当于柏拉图所说的从个体事物回到其普遍理念。从这个角度讲，现象学是一种认识论，它继承并丰富了康德的认识论。按照康德的认识论，只存在三种判断：先天的分析判断（如，圆环是圆的）、后天的综合判断（如，物体总是朝下落）和先天的综合判断（如，三角形的内角和等于一平角）。随着非欧几何和公理化方法的发展，康德的先天综合判断受到了人们的质疑。现在，胡塞尔提出，还有一种先验判断，即从本质直观中获得的陈述。怎样才能在直观中把握概念的本质呢？胡塞尔借用了数学中的变分法思想，即通过虚拟地增加或减去意向对象的属性，看看其是否变化，来发现它的不变的、必然的、本质的属性。胡塞尔1881年就是以关于变分法的论文从外尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）那里获得博士学位的。胡塞尔把本质直观（Wesenschau）看成是所有理智判断的最终源泉。通过本质直观，先验知识的王国便自我展现出来。这个先验知识的王国，就是胡塞尔所追求的第一哲学。它是一切科学的基础，同时本身又像精密科学一样精密。从这个角度讲，胡塞尔的现象学是重建形而上学的尝试。
现象学还原的第三步，所谓“先验还原”，就是回到先验的自我，把经过本质还原所得到的先验知识都看成是这个先验自我的产物。这里，胡塞尔走向了主观唯心主义甚至唯我论。为了逃避对其唯我论的指责，胡塞尔后来提出了“主体间性”（Intersubjektivität）概念。
胡塞尔的现象学是作为世纪之交盛行的心理主义的对手而发展起来的。所谓心理主义，就是企图用心理经验来解决认识论问题。胡塞尔早年受到这一潮流的影响，其1891年出版的《算术基础I》就是想从心理行为中推出数学的基础概念，但这种观点遭到了弗雷格的强烈批判。胡塞尔接受了这一批评，在其1900－1901年出版的两卷本《逻辑研究》中，他站到了逻辑的客观性和先验性的立场上。1910年，胡塞尔发表了他的哲学纲领《作为一门严密科学的哲学》，这个纲领随后在1913年出版的《纯粹现象学及现象学哲学的观念》（以下简称《观念》）中得到具体化，现象学还原的方法就是在这部著作中阐述的。在其晚年的著作《笛卡尔沉思》（1929）和《欧洲科学的危机与先验现象学》（1936）中，胡塞尔进一步为他的理论添加了两个重要概念：主体间性和生活世界（Lebenswelt）的概念。
外尔最初接触胡塞尔的哲学是在哥廷根期间。当时格廷根大学尚无专门的数学系，数学家、物理学家、哲学家、语言学家、历史学者以及古典学者都在同一个哲学系内。在做学生期间，出于对认识论和数学基础的兴趣，外尔听过胡塞尔的讲演。至少，他听过胡塞尔1907年4月25日至5月20日关于“现象学的观念”的五次演讲。此外，胡塞尔还是1908年2月12日外尔通过博士学位考试的主考官之一。真正促使外尔认真阅读胡塞尔的诱因，则是一个非学术事件：他与海莲娜的恋爱和婚姻。海莲娜是胡塞尔的一个学生，在哥廷根大学称得上是一个才貌双全的女子。为了赢得海莲娜的芳心，据R. Courant说，冯·卡门（T. von Karman）与外尔展开了异常激烈的角逐，结果是外尔胜了，并于1913年结了婚 [瑞德1999，页56]。关于海莲娜对自己哲学思想的影响，外尔在生平回顾中供认不讳：
Gottfried Keller 曾坦率地承认自己在爱上一位女子时自己的不朽信念所经受的震动。这位女子叫Johanna Kappa，她的父亲与唯物主义哲学家路德维希·费尔巴哈的观点非常接近，而Johanna就是在他的观念下长大的。我也有类似的经历：当我爱上一个歌女时，我在实证主义中找到的慰藉受到了强烈的震动。这位歌女是一个教团的成员，而该教团的哲学发言人是一个著名的黑格尔主义者。部分是由于我尚未成熟，部分也是由于这种难以消解的世界观上的对立，这次经历没有留下多少东西。然而，这种震动再一次发生了。在那不久之后，我与一位学哲学的女生结了婚，她是当时在哥廷根任教的现象学奠基人胡塞尔的学生。随之，胡塞尔使我从实证主义中摆脱出来，而走向一个比较自由的世界观。与此同时，我从哥廷根的无公薪讲师变为苏黎世联邦理工学院的几何教授。[Weyl 1968(1954), IV, S. 636－637]
尽管如此，在1920年之前，胡塞尔的现象学对外尔的影响还是相当有限的，并且主要表现在数学基础问题上。1918年，外尔在苏黎世联邦理工学院开设了“数学的逻辑基础”这门课程，并出版了论分析基础的专著《连续统》，试图在直谓主义的基础上发展一个连续统的逻辑—数学构造[③]。在前言中，外尔提请读者在有关的认识论问题上参照胡塞尔的哲学著作：
尽管这主要是一部数学论著，我并不回避哲学问题。但我也不打算用那种肤浅简陋的经验主义和形式主义的混合物来蒙混处理；这种做法在数学家中颇为盛行，尽管弗雷格在《算术的基本规律》（1893）中对此早已作了明确的批判。关于逻辑的认识论方面，我同意胡塞尔《逻辑研究》（1913）中的基本概念。关于逻辑在一个广博的哲学框架内的恰当位置，我请读者参阅胡塞尔的《纯粹现象学及现象学哲学的观念》（1913）。我们对连续统问题的检查，就是一项对直接（直观）所予和形式（数学）概念之间的关系的批判性的认识论考察；在几何学和物理学中我们正是通过这些形式概念来构造所予（the given）的。[Weyl 1987, p. 2/Preface]
外尔强调，“数学的概念世界对于直观连续统所显示给我们的东西是完全陌生的，因此要求两者一致是荒谬的”[Weyl 1987, p. 108]。戴德金的实数概念是在直观所予的基础上经过构造和抽象得出的理想对象，但句法上的对错并不能等同于语义上的真假，后者只能通过“直接的观看”(unmittelbare Einsicht)才能判断。正是在这里，外尔提请我们参照胡塞尔的著作：尽管实数概念在精密自然科学中占有十分重要的位置，我们还是应该用“现象学悬搁”的方法对其加上括号。
1920年之后，随着外尔对统一场论热情的衰减，费希特的哲学在外尔心中没有当初那么重要了。与此同时，外尔也从统一场论的探索转向了空间问题的数学分析。随着这一分析的逐步深化，外尔在哲学上进一步接近了胡塞尔的思想。外尔的思想转变，正好与胡塞尔《逻辑研究》修订版的出版（卷II，1921；卷I，1922）不期而合。1921年5月26日，外尔在感谢胡塞尔寄给他新版《逻辑研究》的信中，向胡塞尔介绍了自己近期的研究：
近来，我试图在数学分析所能达到的最深基础上理解空间的本质（Wesen）。这样我就得面对群论研究，就像赫姆霍兹当时以及您在空间问题中已经做过的那样。但今天，随着（广义）相对论的出现，人们不得不考虑到，情形已经不同了。…人们必须区分在度量形式中表示的空间的先天本质与度量在空间各点由物质决定的后天的定向（其本身可以相互自由变换）。[转引自Tonietti 1988, p.369]
在这封信中，外尔还说自己直到现在才对该书的内容有了肤浅的理解。外尔说话向来谦虚，但这里的过谦之辞表明，外尔对胡塞尔的思想有了更深切的了解。在连续统问题中，外尔所诉诸的直观总未脱心理学的成分，如迭代的观念或连续统的直观（一个流动的整体）。但在度量问题上，外尔所谈的直观却是胡塞尔所强调的理性的、先验的概念直观。这里外尔所问的问题是：度量空间这个概念的本质是什么？我们如何在直观中把握它的本质？在回答这个问题时，外尔没有一开始就承认黎曼几何的基本假设：空间中任意一点度量可以表示为二次齐次微分式的平方根，也就是说给这个命题加上了括号，因为度量空间的本质只有通过本质直观才能把握。在我们的直观观念中，度量意谓着长度的比较，也就是说度量概念依赖于合同运动这个更原始的观念。因此，在直观中把握度量空间的本质，就是要把握在合同运动下保持不变的性质。胡塞尔在讲到如何进行本质直观时说，可以借用数学中的变分法。要是把这种方法应用到度量概念上，那么所取的途径就应当是像黎曼的尝试那样，假设度量是四次齐次微分式的四次方根、甚至六次微分式的六次方根会怎样，等等。外尔没有采用这种“变分”的方法，而是采用了群论的方法，因为群论正好是研究不变量的手段。运用群论的方法，外尔成功地捕捉到了度量空间的本质：空间中任意一点的合同变换群共轭于伪正交群，也就是说，毕达哥拉斯定理在空间中每一点的无穷小邻域内都是成立的。
对于胡塞尔现象学还原的第三步，也就是回到先验的绝对自我，外尔似乎并不赞同。在费希特那里，自我是大写的自我，无论你、我、他都有这个自我。但胡塞尔的先验自我、绝对自我，带有相当强的唯我论色彩。在《生平回顾》中，外尔用了一个点几何模型来说明主体、客体、现象之间的关系。他把主体比作点，客体比作坐标系，客体的现象比作点在一个坐标系中的坐标。不在同一条直线上的三点构成一个坐标系S。相对于这个坐标系，平面上的任意一点p都有一个坐标 (x1, x2, x3)，不妨取重心坐标 (x1 + x2 + x3 = 1)。按照朴素实在论的观点（即费希特所称的独断论），点是某种自在的存在物。但在几何的代数构造中，我们根本无需越出数的范围，也就是无需越出隐喻中的内在意识：我们只涉及到〔纯粹意识所体验的〕现象――总和为1的三数组，一个坐标系由三个三数组构成。当我们取一个绝对坐标系时，比如说(1, 0, 0)、(0, 1, 0) 和 (0, 0, 1) ，任意一个点p就对应于一个确定的三数组x。绝对坐标系中的点相当于绝对自我。外尔接着说，
只要人们只对这样的数关系感兴趣：它们在从绝对坐标系到任意坐标系的变换中保持不变，或者说，相对于三坐标的任意线性变换是不变量，那么，以客观性的名义要求的、自我的同等地位就能得到保障。这个模型表明了，在客观的观点中，即在不变性这个视角下，一个有感有知的自我如何把自己看成是大量同类中的一个独特主体。（顺便提及，这个模型的隐喻，在我看来是一个重要的推定证据，据此可证明胡塞尔的若干命题是错误的）。[Weyl 1968(1954), IV, S. 644]
三物质问题与超验论哲学
1921－1923年是外尔的思想最接近胡塞尔哲学的年月，与此同时，外尔也逐渐认识到胡塞尔思想的不足与缺陷。对外尔来讲，胡塞尔的哲学之于空间问题，正如费希特哲学之于统一场论。一旦他的研究范围越出了统一场论或空间问题，那么这两人哲学思想的片面性就在他面前表露无疑。外尔认为，胡塞尔的现象学，作为唯心论的一种独特形式，并不能解决主体性之谜――比如犹大的绝望呼喊：为什么我必须是犹大而不是彼得呢？外尔说道：
客观地理解这个问题显然是不可能的，因此也就不会有任何以客观认识的形式给出的答案。知识无法使明亮的自我与幽暗、混乱、被放逐到个体命运中的人类谐调一致。看来，迄今整个问题只得到了片面的理论上的把握，尤其是胡塞尔。欲将自身视为理智，自我必须按照笛卡尔的方式经历彻底的怀疑；欲将自身视为存在，自我必须按照基尔凯戈尔的方式经历彻底的绝望。通过怀疑，我们迈向超越内在意识的实在世界的知识；但在相反的方向，存在着超越的上帝――不是作品上的超越而是本源上的超越，从他那里流出意识的亮光。意识掩盖了自己的本源，因而在其自我透视中出现了主体与客体、意义与存在之间割裂和紧张。[Weyl 1968(1948), S. 327-328]
从这段话可以看出，外尔认为胡塞尔的现象学具有双重的片面性：作为朴素实在论的对立面，它不能引导我们获取关于外部世界的知识；作为唯心主义的独特形式，它不能揭示意识的本源。认识到现象学哲学的不足，外尔并没有走向朴素实在论。外尔把外部世界看成是一种超越的或者说超验的存在，但外部世界的超越性来自上帝的超越性。离开了本源的超越性，就不能谈论世界的超越性。朴素实在论虽然是一切知识的出发点，但这种实在论并不能保障体现在物理定律中的外在世界的数学和谐性：
外在世界的假设并不能保证：通过力图创造和谐的理性的认知活动，一个这样的世界就能够从现象中浮现出来。若是如此，世界就必然服从简单的基本定律。因此，外部世界的简单假定，并没有真正解释它想要解释的东西；世界的实在性问题，与其合规律的数学和谐性的缘由问题，不可分割地联系在一起。后者明确地指向另一个方向的超越性，而不是一个超越的世界这种超越性；指向本源而不是作品。因此，终极答案在一切知识之外，在上帝自身之中；意识之光从上帝那里流出，随后就将自己的本源隐藏到背后，因而在自我透视中出现了主体与客体、意义与存在之间割裂与紧张。[Weyl 1959, p.125，黑体为笔者所加]
1.上帝比存在物更高级：场方程比物质更根本
外尔是通过费希特晚年的著作《幸福生活指南》而接近超验论哲学的。费希特的哲学思想以绝对的、无条件的行动开始，以行动着的自我陷入上帝的深渊而告终。早年的费希特强调的是绝对的自我，外在世界不过是这个绝对的自我按照自身的本性自由地创造出来的图像。若将这种自我推向极端，外在世界连同自我本身都要被推进毁灭的深渊：世界连同自我不过是一幅幅梦幻般的图像，因而无法逃脱陷入绝对的虚无之中的命运。面对这一可怕的漩涡，晚年的费希特主张彻底放弃自我，回到自我的本源――上帝那里，将自我沉入到上帝的神明之中。
费希特晚年的这种思想，可以上溯到中世纪德国神秘主义哲学家埃克哈特大师（Meister Eckhart）。神秘主义是欧洲哲学史上的一条从未间断暗流，从普洛丁（Plotinus）、伪狄奥尼修斯（Pseudo-Dionysius）、爱留根纳（Eriugena）一直流经埃克哈特和库萨的尼古拉（Nicolas of Cusa），晚年费希特、谢林（Friedrich W. J. von Schelling）和黑格尔（Georg W. F. Hegel）都深受其影响。在晚年费希特的影响下，外尔在1922年也潜入了这条暗流：
在我的整个精神生活中，有过两次极度幸福的体验：一是1905年，作为一个年轻的学生，学习希尔伯特的杰作《关于代数数论的报告》；一是1922年，在美丽如画的Engadin的冬季，完全沉浸在埃克哈特的著作之中。[Weyl 1968(1954), IV, S. 647]
我们不能简单地将神秘主义理解为某种极度晦涩的或狂热的思想。神秘主义与其说是一种思想，不如说是一种内心体验：一个人在遁世的道路上所经历的精神体验。埃克哈特的神秘之路，同时也是一条告别之路。这条道路的第一站是放弃所有的现实存在，不再为外界事物而操心，专注于纯粹的内心世界。接下来的第二站就是彻底放弃自我，包括自己的欲望、爱好和意志。放弃世界、放弃自我并不意谓着走向虚无，而是回到自己的本源、灵魂的至深处，来到神明的附近，将自己的灵魂浸入上帝的神明之中，与上帝合为一体。这里的上帝不仅是万物的创造者，而且是比所有存在物更高级的、纯粹精神性的存在，某种纯洁澄明的单一。但埃克哈特认为，所有的言词都无法准确地描写遁世中的体验。
将埃克哈特有关上帝的描述与外尔的相应描述加以比较，就不难明白外尔对埃克哈特如此着迷的缘由。像“上帝秘密地掩藏在灵魂深处”、“上帝比存在物更高级”、“上帝是纯粹的认识，它的全部存在就是认识本身”这类表述 [魏施德1998，页102－104]，必定深深打动过外尔的内心。外尔所需要的正是这样的一位上帝，因为这样的一位上帝取消了主观与客观、自我意识与外在世界之间的对立，同时也保障了自然规律的简单性与和谐性。外尔1931年在耶鲁大学就科学的形而上学寓意发表的演讲中，特别强调了上帝作为数学和谐之源的思想：
宇宙的和谐既不是力学的也不是心灵的，它是数学的，并且是神圣的。[Weyl 1932, p. 26]
许多人认为，现代科学已经远离上帝。但在我看来，事情正好相反：当今对于有见地的人来讲，在历史、宗教和道德领域接近上帝要困难得多；因为在这些领域我们无法回避世界上的痛苦与罪恶，而痛苦与罪恶总是难以与仁慈、万能的上帝和谐共处的。在这些领域，我们显然尚未成功地揭开我们的人性用来掩盖事物本质的面纱。但在物理世界的知识方面，我们已经取得了巨大的进展，获得了一幅与崇高的理性相配的完美无暇的和谐图像。这里没有痛苦、没有罪恶、也没有缺陷，这里只有完满。[Weyl 1932, pp. 28－29]
承认这样一位上帝，意谓着外尔已经超越了朴素实在论和唯心论，世界与自我统一于上帝这个概念之中。外尔之所以接受这样一位上帝，与他在数学物理领域的长期探索、特别是围绕物质问题而展开的深入思考是密不可分的。外尔深刻地认识到，自然界的数学化是整个现代物理学的基石。现代物理学的奠基人伽利略和笛卡尔都一再强调，大自然所说的语言就是数学语言。离开这个基本信念，物理学大厦将成为空中楼阁，因为这个信念事实上已经蕴含在现代物理学的实验方法之中。实验意味着观测和测量，这就暗中假定了，我们与大自然进行交流的语言必须是数学语言。无论是依靠朴素的实在论，还是依据理智的本性（费希特）或理性的直观（胡塞尔），都无法建立起物理学这座辉煌的大厦。
伽利略和笛卡尔当初所说的数学化，实际上是指几何化，但这种几何化的思想在牛顿之后逐渐隐退了。在18至19世纪，数学化意味着分析化与代数化，但爱因斯坦的广义相对论将几何化的思想重新复活了。在爱因斯坦的场方程中，方程的左边是几何量――黎曼曲率，而右边则是物质量――能量－动量张量。因此，从广义相对论的角度来看，引力场与时空的弯曲是同一个事物的两个方面。在外尔的统一场理论中，物理学的几何化被推进到一个更高的水平：电磁势和电磁场强分别是外尔几何中的长度联络和长度曲率，以至于外尔宣称：“笛卡尔将物理学纯粹几何化的梦想看来正在以一种他绝未料到的方式近乎圆满地实现了。”[Weyl 1950(1922), p.284]
外尔在广义相对论以及统一场论方面的工作，无疑强化了他对自然界的统一性与和谐性的信念。但这尚不足以使他确信：简单的数学规律是比物质更高级的存在，因为从他的统一场论中得不出类粒子解。欲了解外尔为何接受“上帝比存在物更高级”（也就是说，物理定律比物质更为根本）的观点，就必须了解外尔在放弃统一场论之后的物质观，所谓物质作为动力因的理论，这在上章最后一节做过讨论。按照这种物质观，基本粒子也可以说是依据基本场方程构造出来的一个实体：电荷及质量分别是通过一个闭曲面的电场和引力场通量。我们首先必须有电磁场和引力场方程以及相应的守恒定律，才能得出经验上的质量和电荷的概念，而一个粒子无非就是由电荷、质量这些特征数字所刻画的理论实体。外尔的这种物质观在1921年已经有了雏形，这表现在《空间、时间与物质》第四版中关于基本力学方程的推导上。在其1924年出版的《物质是什么》中，这种物质观得到了更明确的表述。这里，物质是以场的内部边界的形式出现的。虽然你可以仍然把物质看成场源，但从物理角度来看，物质不过是场方程的拓扑性质（虽然不是场方程的孤子解）。外尔将物理定律分为因果规律 (Kausalgesetze) 和结构规律 (Strukgesetze或Strukgesetzlichkeit)，因果规律说明物质如何产生场，而结构规律说明场效应的传播。外尔强调，“唯有相对于这个结构我们才能刻画物质”[Weyl 1977(1924), S.87]。也就是说，场方程是比物质更为根本性的东西。
2构造主义：超越存在与理想陈述
外尔在哲学思想上的转变，在一定程度上改变了他在数学基础问题上的立场。按照外尔的观点，唯心论在数学上的表现是布劳威尔（L. E. J Brouwer）的直觉主义，而超验论在数学上的表现则是希尔伯特的形式主义[④]。在外尔的点几何模型中，朴素实在论相当于把点看作某种自在之物，唯心论相当于把点等同于总和为1的三数组，而超验论则相当于把点作为满足公理的未定义的概念：
这里我们既不把点当作存在着的实在，也不是一开始就把它等同于一个绝对坐标系中的三数组，而是把点和基本几何关系作为未定义的、满足给定公理的初始概念而引入。这就表明，在朴素实在论和唯心论之外还可以有第三种观点，即超验论（Transzendentismus）的观点。这种观点设定了一个超越的存在，却满足于用符号来表示它。这对应于几何学中的公理化体系。[Weyl 1968(1954), IV, S. 645]
在数学基础问题上，外尔向来以直觉主义的拥护者知名于世。事实上，外尔只在1920年5月完成、次年发表的“数学基础的新危机” [Weyl 1968(1921), II, S.143-180]一文中完全站在布劳威尔一边。在这篇文章中，外尔放弃了《连续统》中的外延的确定性（Umfangsdefinitheit）和用算术上可定义的序列来定义实数的做法，转而接受了布劳威尔的判定的确定性 (Entscheidungsdefinitheit) 和用选择序列来定义实数的方法，并且拒绝使用排中律。外尔的这篇文章激起了关于基础问题的论战（Grundlagenstreit），而外尔本人一直没有介入这场论战，在自己的日常数学研究中也没有将直觉主义付诸实践。只是在1928年汉堡的数学会议上，当希尔伯特猛烈攻击布劳威尔的观点时，他站出来为直觉主义辩护。但外尔的辩护并没有反对希尔伯特的形式主义，而是站在布劳威尔和希尔伯特之间的某个中间立场。外尔认为，布劳威尔的功绩在于首次明确指出数学各领域都越出了“实质思想”（inhaltliches Denken）[⑤]的界限，而这个界限希尔伯特自己也是遵守的。另一方面，外尔指出，希尔伯特的形式主义通过重新解释古典数学的意义而挽救了古典数学，它的巨大意义和深远影响是不容忽视的：
在由此产生的新局面的认识论观点方面，我高兴地发现，没有任何东西能将我与希尔伯特分离开来。他首先提出，借助理想陈述（ideale Aussagen）来证明实陈述（reale Aussagen）是一个合法的形式手段；这一点即使是最严格的直觉主义者也必须认可。[Weyl 1968(1928), III, S. 148]
这就是说，外尔在一定程度上回到了希尔伯特的立场。他不反对把实无穷作为一个理想元素来引入，也不反对把存在证明作为一种辅助手段，作为勘探而不是发掘的工具。在为布劳威尔辩护时，外尔还指出，一旦我们从数学进入理论物理学，那么形式主义较之直觉主义是一种更好的选择。这里，外尔首次明确地阐述了他的科学哲学观点，我们不妨称之为构造主义观点。依据这种观点，物理学理论是人类构造的一套体系，该体系只有作为整体才能面对经验，孤立的物理定律是没有任何经验意义的。物理学中的陈述通常并不是实陈述，而是依据理论得出的理想陈述，其意义无法通过直观来获得。
外尔的这种科学哲学观来源于他对物质问题的考察。物质是什么？一个基本粒子由若干个特征数字（比如质量、电荷等）所刻画，这些特征数字是通过实际的或可行的、满足基本物理定律的相互作用而获得的。拿质量这个概念来说，质量不是所谓“物质的量”，而是出现在能量守恒定律和动量守恒定律中的动力学系数。唯有依据能量和动量守恒定律，我们才能借助碰撞试验来确定物体的相对质量。再拿电荷来说，电荷是粒子在电磁场中所受到的力的系数。要确立一个粒子的电荷这个概念，我们需要一整套互为关联的基本定律，包括麦克斯韦－洛伦兹方程和牛顿力学方程。因此，物质或基本粒子是借助全部的基本物理定律而确立的一个理想实体，像电子作为全同的基本粒子这类陈述根本没有直观的意义。物理学的理想陈述是通过数学中的理想陈述来实现的，因为物理学中的基本定律都是用微分方程的形式来表述的。这样，“纯粹数学就突破了直观为真的框架” [Weyl 1968(1928), III, S. 149]。在这份发言的最后，外尔表露了他对唯心论现象学的疑虑，同时也就暗示了他对超验论哲学的暧昧态度：
假如希尔伯特的方案相对于直觉主义获得了胜利 — 一切迹象表明情况似乎就是这样，那么在此我就看到了纯粹现象学的哲学立场的决定性的失败，现象学哲学也因此表明，在最原始的、最显明的知识领域中，在数学中，它不足以用来理解创造性的科学。[Weyl 1968(1928), III, S. 149]
外尔在这里初步表述的符号构造论，20年之后在《科学作为人类的符号构造》以及《论数学和数学物理学的符号论》这两篇文章中作了更为清晰、系统的阐述：数学和物理学是人类构造的符号体系，而 “后继”的直观观念是整个体系的终极基础。由后继的观念产生了自然数的序列，我们必须把这个序列理解为朝向无穷开放的可能性的王国（潜无穷），它是我们用来投影现实的幕布。但人类对整体性的要求以及对实在的形而上学信念，迫使我们在符号构造中将其表示为一个绝对存在的封闭王国（实无穷）。在算术构造的基础之上，我们可以进一步构造连续统。如此一来，外尔指出，我们就必须像希尔伯特一样重新理解数学的意义，数学变成了按照确定的规则产生的符号和公式游戏，逻辑上的相容性取代了实质上的真理性。那么数学的真理性到哪里去寻找呢？外尔认为，“数学与物理学的关系清楚地表明了这个超越的、纯粹符号化的数学意义何在” [Weyl 1968(1949), IV, S. 332]。物理学的理论，是我们关于世界的符号构造，而不是通常意义上的事实陈述。在系统化的物理理论中，人们首先列出数学公式（基本方程），并不去解释代表质量、电荷、场强的符号的意义，只是在最后才说明如何把这整个符号体系与物理经验联系起来。我们的符号体系是我们为真实世界建造的一个模型，就像建筑师或工程设计的图纸一样。我们不能把这个模型当成实在，而机械论自然观正犯了这种错误。广义相对论和量子力学的发展证明，我们必须满足于将其视为模型，像黎曼流形和希尔伯特空间这类概念只能从构造主义的角度去理解。物理学的整个理论体系，连同其所需的数学基础，是一个不可分割的整体，这个体系中的孤立命题是没有任何经验意义的；而整个体系与经验的联系是通过一些典型的实验操作（物理测量）来实现的[⑥]。
外尔的基本论点是：如果我们要求数学的真理性，那我们就必须接受布劳威尔的观点，拒绝实无穷的观念，拒绝使用排中律，拒绝接受存在证明；而一旦我们把数学当作物理学的工具和语言，由于面对一个讳莫如深的存在领域，我们必须引入理想陈述，从而接受希尔伯特的形式主义立场。外尔本人总结道：
因此我采取下述立场：若只考虑数学，那么人们就必须像布劳威尔一样局限于直观真理，只能把无穷看成一个开放的可能性领域；没有任何理由越出这一限度。但在自然科学中，我们触及这样一个领域，它具有直观的显明性同时又是讳莫如深的；这里知识必然是符号化的构造形式，因此再也不必把数学看成一个直观知识的特殊领域而将其孤立开来，因为通过物理学数学已被采入到理论化的世界构造的程序之中；从这个较高的、将整个科学作为一个统一体的立场来看，我乐于承认，希尔伯特的观点从根本上讲是正确的。[Weyl 1968(1953), IV, S. 534]
3 “此在”的“领悟”：碎片的拼缀物
如果将外尔1928年的思想与1949年的思想进行比较，我们就会发现，外尔的科学哲学观点没有多大改变，但这种科学哲学观所立基的超验哲学却发生了深刻的微妙变化。具体地说，就是存在主义，特别是雅斯贝尔斯和海德格尔的思想，进入了外尔的视野，并在某种程度上取代了埃克哈特等人的思想在他心中的地位。在1985年苏黎世举行的外尔百年诞辰纪念会上，Michael Weyl向我们介绍了他的父亲对存在主义的浓厚兴趣：
赫尔曼的文学兴趣极为广泛，更不用说他对哲学的惊人理解了。他不仅熟悉那些与其作为一个数学家和物理学家有关的思想家，如德谟克利特、莱布尼兹、康德、费希特、胡塞尔、卡西尔和罗素，而且熟悉那些带有鲜明形而上学和非科学倾向的思想家，如埃克哈特大师、基尔凯戈尔、尼采、海德格尔和雅斯贝尔斯。我曾目睹赫尔曼日复一日、历时数周一头扎在雅斯贝尔斯的三卷本《哲学》中，深深地被其中的概念所吸引，并且不停地与朋友和家人进行讨论。[Chandrasekharan 1986, p. 96]
他尤其喜爱对话（Gespräch）――与他所敬重的人或在思想和经历上令他产生兴趣的人进行的、对理解力有极高要求的一对一的交谈。我常常静静地坐在一旁，看着他与别人对话――与Hella和Ellen，与Siegel、Chandra、Morgenstern和Friedrich Lutz，与T. S. Eliot、George Kennan、Scherrer夫妇、Polly Norton和Helen Lowe，等等等等。对我来讲，这是激动人心的时刻。1947年他与哲学家卡尔·雅斯贝尔斯的对话场景，我至今还历历在目。他们两人一坐下来，就围绕现代物理学和存在主义之间的关系开始了一场全神贯注的紧张对话。我估计持续了将近两个小时，仅是努力跟上他们的对话就令我感到疲惫不堪。[Chandrasekharan 1986, pp. 999－100]
外尔1948年在Eranos的讲演稿《科学作为人类的符号构造》，就是在这次对话之后不久写成的。不过，在这次讲演中，外尔没有援引雅斯贝尔斯版本的存在主义，也没有提及与存在主义有着亲缘关系的思想家如基尔凯戈尔（Søren Kierkegaard）和尼采（Friedrich Nietzsche），而是参照了海德格尔版本的存在主义。其中的原因，笔者料想，可能是雅斯贝尔斯没有用哲学概念的形式来系统地表达他的思想，而海德格尔则独创了一系列冷僻、精审的概念。有鉴于此，笔者在谈论外尔对存在主义的兴趣时，也将以海德格尔的术语为准。
谈论海德格尔的思想，我们首先必须对他所用的三个术语das Sein（存在）、Dasein（此在）和Existenz（生存）稍加解释。海德格尔思想中最为独特的成分，就是把“存在”与“存在者”（Seinde）区别开来。他认为，西方思想从一开始就把自己局限于“存在者”（或曰存在物），而“存在”本身却被人遗忘了。何谓“存在”？海德格尔认为，“存在”就是用现象学还原的方法、括去了作为“存在者”的那些东西之后所剩余的、自我显现的纯粹现象，相对于“存在者”而言它就是“无”（Nicht zum Seinde）。因此要揭示“存在”，就必须找到这样的“存在者”，借助它能够显示出“存在”。海德格尔认为，我们向来就是这样的“存在者”。他把这样的“存在者”称作“此在”，而不用“人”这个词，以避免把人看成具有确定性质的客体。“此在”就是“在世界中存在”（In-der-Welt-Sein），我们不能把它理解为某种精神实体。《非理性的人》一书的作者曾用物质的场理论来比喻“此在”倒是十分贴切：“此在”就好比是世界总场中那个“向来属于我的”（Jameining）影响区域 [白瑞德1988，页220]。其实这是一个十分朴素的概念，意思是说我们不能把人与其周围的世界完全区别开来。海德格尔使用“此在”的用意，就是要取消笛卡尔的二元论、填平主体与客体之间的鸿沟。海德格尔认为，世界作为一个整体不是一个“存在者”，而是一个超验的东西，它只能通过“此在”的“生存”而被打开、展现出来。“生存”是“此在”的本质，它有三种原始的样式：情绪（Stimmung）、领会（Verstehen）和沉迷（Verfallen）。每一种情绪都使“此在”发觉自身以某种方式处于世界之中。海德格尔把面对死亡的“畏”（Angst）和逃离死亡的“怕”（Fürcht）作为最基本的情绪，“畏”展示了“此在”的“被弃状态”（Geworfenkeit）和世界的“无意义性”（Unbedeutsamkeit）或“虚无性”（Nichtigkeit），而“怕”则使“此在”逃进世界之中。“情绪”总是伴随着“领会”，“领会”这里指的是在前概念水平上对世界的了解，就像我们一睁开眼，一个充满万物的世界便敞开在我们眼前一样。逃离死亡的“怕”的情绪借着“领会”活动使“此在”投身并“沉迷”于世界之中，关切着（besorgen）这样那样的事物，因此一个有意义的日常世界便展现出来[⑦]。
有人把海德格尔的思想称作是一座“没有神龛的庙堂”，是在尼采喊出“上帝死了”之后而建立起来的庙堂。其实这是海德格尔用来赞美赫尔德林的诗的用语，不过这倒是向我们指出了外尔在科学哲学问题上接纳存在主义的缘由。在西方哲学史上，人们一直是用“上帝”这个概念来统一主体与客体、内在意识与外在世界的对立的。上帝死了怎么办？海德格尔指出，在一种更原始的水平上，在“此在”的“领悟”和“敞开”（Aufgeschlossenheit） 之中，我们不再有二元论的困扰。因此，海德格尔的“此在”在这一方面接替了原来由上帝扮演的角色。外尔当然不会完全排斥上帝的概念，因为上帝还保障了物理定律在数学上的简单性。毋宁说，存在主义对“此在”的描述进一步丰富了外尔的超验哲学。就此而言，外尔的思想更接近雅斯贝尔斯的有神论存在主义。
我们自然会问，外尔在何处发现了存在主义与现代物理学之间的关系？为此我们最好还是回到外尔的物质观。外尔在1924年出版的《物质是什么》的前言中就强调过，量子理论可能会彻底改变我们的物质观。量子力学诞生之后，外尔很快就认识到必须对波函数作统计解释。[⑧] 但外尔并没有完全采取系综诠释，而是接受了哥本哈根学派的正统立场，包括玻尔（Niels Bohr）的互补性观点和海森堡（Werner Heisenberg）用测量干扰来解释不确定关系的观点[⑨]。由于接受了这种正统诠释，外尔认为量子论有着重大的认识论意义，即“在能够通过测量而获悉的事实情形中，主体与客体不可分割地联系在一起” [Weyl 1968(1949), IV, S. 337]。外尔还赞同冯·诺依曼（John von Neumann 1903 1957）等人的观点，认为逻辑“和”在量子逻辑中不再成立。如此一来，物质就不仅是从理论中构造出来的，而且还是从理论中构造出的碎片的拼缀物：
量子理论表明，观察总要施加不可控制的干扰，因为一个量的测量不可逆地破坏了测量某些其他量的可能性。虽然我们希望将客观存在构造为一片整布，但它每次都裂开了；留在我们手里的只是一些碎布片。[Weyl 1968(1954a), IV, S. 627]
外尔正是在这里看到了量子力学与存在主义的平行性。按照存在主义的观点，世界是超验的整体，“此在”通过“领悟”而将世界展开出来。“关于外在世界的问题，海德格尔认为”，外尔解释道，
人无法证明外在世界存在着以及如何存在着，而只能说明此在作为在世界中的存在，为何会将外在世界埋葬在虚无之中，接着又间接地将它显示出来。当人压制了此在的本源现象之后，人又力图将留下的孤立主体与撕裂的世界碎片粘合起来。[Weyl 1968(1949), IV, S. 343－344]
若是我们接受哥本哈根学派的正统诠释，那么我们确实会像存在主义者那样认为世界是一个超验的、无从分辨主体与客体的整体。当“此在”与周围世界“有隔”（Distanzierung）时，世界便分裂为主体与客体，原始水平上的“领会”随之演变成纯粹客观的认识。但人类的理智无法穿透“此在”，它只能用符号体系来把握实际的空间－时间－物质性的存在。人类的精神也无法理解作为绝对存在的实无穷观念，“但对整体性的要求以及对实在的形而上学信念迫使它通过一个符号构造体系来表征作为整体存在的实无穷观念” [Weyl 1968(1949), IV, S. 335]。外尔与雅斯贝尔斯谈话的内容我们不得而知，但雅斯贝尔斯的某些观点一定引起了外尔的共鸣。比如说，雅斯贝尔斯谈到“大全”（das Umgreifende）时说，“大全是那样一种东西，它永远仅仅透漏一些关于它自身的消息――通过客观存在着的东西和视野的边际透漏出来，但它从来不成为对象”[雅斯柏斯 1963，页164]。雅斯贝尔斯所说的人类的“极限困境”，我想也会令外尔想到量子力学中的不确定关系。再如，雅斯贝尔斯把一切存在物都作为“超验自身的密码”[魏施德1998，页291]，与外尔把科学理论看作是一套符号体系而不是实在本身也有某种模糊的联系。
从1922年阅读埃克哈特，到1947年与雅斯贝尔斯交谈，历史滑过了1/4个世纪。梳理一下外尔的超验论之路，大致可以得出如下一幅图像：
外尔最初是通过晚年费希特的著作而进入到埃克哈特的思想之中，这与他在前量子力学时代的物质观－－物质作为场的动力因的观点－－正好相合：作为受造的、超越的物质是以作为本源的、超越的上帝为前提的，或者说，物质是以场定律为前提的，它是场的拓扑学性质。承认超越的本源，使得外尔并不像其他直觉主义者那样拒斥形式主义。量子力学诞生之后，外尔接受了波粒二象性的图像，因而放弃了物质的几何动力学观点，但这并不意味着外尔放弃了物质是与基本定律紧密相随的理论实体的观点。事实上，由于量子力学中动力学量对应于希尔伯特空间中的厄米算符，理论构造与物理经验之间的距离进一步广大，外尔更加明确地阐述了他的构造主义观点，并使他在把数学和物理学作为一个整体的情形下回到了希尔伯特的立场。从1922年到1932年，外尔的物质观发生了一定的变化：物质现在成了依据基本理论构造出来的碎片的拼缀物；但外尔的超验哲学没有多大变化，物理定律在数学上的简单性仍然是最根本性的东西。二次大战前后，存在主义风靡一时，外尔因接受了哥本哈根学派的正统解释而看到了两者的平行性，他的构造主义也因借鉴了存在主义的部分观点而显得更加充实：世界是一个超验的、无从分辨主客体的整体，我们的理智无法穿透这个整体，只能在符号化的构造体系中把握住一些碎片。
最后，我们必须指出，尽管外尔借鉴了存在主义关于“此在”的部分看法，他对存在主义是持保留态度的：
关于海德格尔理论的其他内容，比如为物所环绕的此在在他看来首先是忧（Sorge），比如此在既是自我谋划（Selbstentwurf）又是被弃存在(Geworfensein)，比如他对时间、良知、罪孽和死亡的解释，我在此不想发表意见。我只是指明，这里所阐述的存在哲学的思路，与我们在数学和量子物理基础研究中所达到的地步，看来有着一种平行性。我们没有说，这种平行性是真切的。总之，我这里所说的一切，都得加上一个大大的问号。事实上，自然的世界领悟这个观念在我看来绝非清晰和明确。但业已提出的问题值得进一步的深思。[Weyl 1968(1949), IV, S. 344]
参考文献
白瑞德, 威廉1988.《非理性的人――存在主义探源》. 彭镜禧译. 哈尔滨: 黑龙江教育出版社.
Chandrasekharan, K. (ed.) 1986. Hermann Weyl, 1885—1985. Centenary Lectures delivered by C. N. Yang, R. Penrose, A. Borel at the ETH Zürich. Berlin – Heidelberg – New York: Springer-Verlag.
Chevalley, C. and A. Weil 1957. Hermann Weyl (1885—1955). in Weyl [1968], Band IV, S.655—685. (原载 Enseignement Math. 3 (3) : 157—187.)
Deppert, W. (Hrsg.) 1988. Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel, 1985. Frankfurt am Main: Verlag Peter Lang.
Dieudonné, J. 1976. Hermann Weyl. in Dictionary of Scientific Biography. ed. in chief by Charles C. Gillispie, vol. XIV, pp.281—285.
费希特 1975.《知识学基础》. 洪谦选译. 载《十八世纪末十九世纪初德国哲学》169－183页. 北京大学哲 学系外国哲学史教研室编译. 北京: 商务印书馆.
费希特 1975.《知识学引论第一篇》. 宗白华选译. 载《十八世纪末十九世纪初德国哲学》183－207页. 北 京大学哲学系外国哲学史教研室编译. 北京: 商务印书馆.
Frei, G. 1992. Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich, 1913-1930. Basel: Birkhaüser Verlag.
郝刘祥2003. 外尔与黎曼几何的拓展. 《自然科学史研究》. 22 (4): 289—303.
郝刘祥2004. 外尔的统一场论及其影响. 《自然科学史研究》. 23 (1): 50—63.
胡塞尔, 爱德蒙德1988.《欧洲科学危机和超验现象学》. 张庆熊译. 上海: 上海译文出版社.
黄裕生 1997.《时间与永恒——论海德格尔哲学中的时间问题》. 北京: 社会科学文献出版社.
刘放桐等1981.《现代西方哲学》. 北京: 人民出版社.
瑞德, 康斯坦西1982.《希尔伯特》. 袁向东、李文林译. 上海: 上海科学技术出版社.
瑞德, 康斯坦丝1999.《库朗——一个数学家的双城记》. 胡复等译. 上海: 东方出版中心.
Scholz, E. 2002. Philosophy as a Cultural Resource and Medium of Reflection for Hermann Weyl. 作者惠寄, 发 表刊物不详.
Temple, G. 1981.100 Years of Mathematics. London: Duckworth.
Tonietti, T. 1986. Four Letters of E. Husserl to H. Weyl and their Context. in Deppert [1988]. pp. 343—384.
van Dalen, D. 1995. Hermann Weyl’s Intuitionistic Mathematics. The Bulletin of Symbolic Logic. Volume 1, Number 2.
魏施德, 威廉1998.《通向哲学的后楼梯》. 李文潮译. 沈阳: 辽宁教育出版社.
Weyl, H. 1919. Kommentar zu Riemanns „Über die Hypotheses, welche der Geometric zu Grunde liegen“. Berlin: J. Springer.
Weyl, H. 1932. The Open World: Three Lectures on the Metaphysical Implications of Science. Yale University Press; London: H. Milford.
Weyl, H. 1950(1922). Space Time Matter. translated from 4th edition by Henry L. Brose. London: Methuen, 1922; New York: Dover, 1950.
Weyl, H. 1959. Philosophy of Mathematics and Natural Science. revised and augmented English edition based on a translation by Olaf Helmer. 4th printing. Princeton: Princeton University Press.
Weyl, H. 1968(1921). Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. in Weyl [1968], Band II, S. 143—180. (原载Mathematische Zeitschrift 10, 39—79, 1921)
Weyl, H. 1968(1928). Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Groundlagen der Mathematik. in Weyl [1968], Band III, S. 147—149. (原载Abhandlugen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 6, 86-88.)
Weyl, H. 1968(1948). Wissenschaft als symbolische Konstruktion des Menschen. in Weyl [1968], Band IV, S. 289—345.(原载Eranos-Jahrebuch 1948, 375—431.）
Weyl, H. 1968(1953). Über den Symbolismus der Mathematik und mathematischen Physik. in Weyl [1968], Band IV, S. 527—536.(原载Studium generale 6, 219—228.）
Weyl, H. 1968(1954). Erkenntnis und Besinnung (Ein Lebensrückblick). in Weyl [1968], Band IV, S. 631—649. (原载Studia Philosophica, Jahrebuch der Schweiyerischen Philosophischen Gesselschaft Annuaire de la Société Suisse de Philosophie.)
Weyl, H. 1968(1954a). Address on the Unity of Knowledge delivered at the Bicentennial Conference if Columbia University. in Weyl [1968], Band IV, S. 623—630. (原载Columbia University in the City of New York Bicentennial Celebration, 1954)
Weyl, H. 1968(1955). Rückblick auf Zürich aus dem Jahr 1930. in Weyl [1968], Band IV, S. 650—654. (原载 Schweizerische Hochschulyeitung 28, 180—189.)
Weyl, H. 1968. Gesammelte Abhandlungen Herman Weyl. Band I-IV. Hrsg. von K. Chandrasekharan. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag.
Weyl, H. 1977(1923). Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesung gehalten in Barcelona und Madrid, Darmstadt: Wissenchaftliche Buchgesellschaft.
Weyl, H. 1977(1924). Was ist Materie? Zwei Aufsätze zur Naturphilosophie. Darmstadt: Wissenchaftliche Buchgesellschaft.
Weyl, H. 1987. The Continuum: A Critical Examination of the Foundation of Analysis. translated by Stephen Pollard & Thomas Bole. The Thomas Jefferson University Press.
Weyl, H. 1988(1925).Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkung und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie. Written in1925 for an edition of Lobatchevsky’s work planned in the USSR. Herausgegeben von K. Chandrasekharan, ETH Zürich und Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
雅斯柏斯 1963.《生存哲学》. 王玖兴选译. 收入《存在主义哲学》152－204页, 中国科学院哲学研究所西 方哲学史组编. 北京: 商务印书馆.
[②] 海德格尔对Phainomenon做过词源学考证。按海德格尔的解释，Phainomenon在希腊文中意指“彰显自己的事物”，它与phaos（光明）和apophansis（陈述）这两个词有词源上的关系。参见：白瑞德 1988，页216－217。
[③] 外尔这里的直谓主义还不是布劳威尔在同一年所阐述的直觉主义，外尔皈依布劳威尔是次年两人在瑞士Engadin长谈的结果 [van Dalen 1995, p. 147]。
[④] 尽管在康托尔（Georg Cantor）看来直觉主义者关于连续统的观点是一种神秘的超验观点。但在构造主义者眼中，承认实无穷意谓着走向神秘、超验的上帝。事实上，当希尔伯特一举解决代数不变量问题时，Paul Gordan就惊呼：“这不是数学，这是神学”。参见：瑞德 1982，页42。
[⑤] 意指数学命题必须是“实命题”（reale Aussagen）。
[⑥] 基于这种观点，外尔对维特根斯坦的图像说提出了批判，因为按照维特根斯坦的图像说，“简单图像”，或曰“基本命题”，具有逻辑上的独立性。此外，他还对怀特海和罗素的关系实在论――实在是由事件构成的观点提出了异议：“我相信，这一切都是徒劳无益的。我们手头除了符号构造外别无所有；这已足矣。” [Weyl 1968(1949), IV, S. 313]
[⑦] 这里的介绍参阅了黄裕生 [1997] 第二章。
[⑧] 据外尔讲，这是当时格廷根那个圈子内人们的共识，不是玻恩（Max Born）一人的独特见解。
[⑨] 顺便指出，外尔对玻尔的互补哲学不甚赞同，他反问道：“这里会不会有像误用相对性观念一样的误用（在量子物理学中有着精确数学表述的）互补性观念的危险？” [Weyl 1968(1949), IV, S. 338－339]
