音乐是一个很奇妙的东西，它无体无身，但它总是可以调节人们的情绪！
数涵妙理总堪寻，道通功成浅亦深！大家好，我是麒麟子，我和我的数学故事都还在路上！
现在高中生对于数学这门课的学习，大多是还是通过刷题的形式提升自己对题型和知识点的熟悉程度，很少有人会静下心来深究课本，回归最原始的定义。其实我觉得也无可厚非，因为刷题确实能够带来一些回报，所以大家都这么做了。
快节奏下的学习
在现在这样一个快节奏的生活之下，大家在面临选择的时候，往往都会选择走看似最快的的那条路，学习也是如此！
题海战术模式
我不否认，当你刷题的量上去之后，你在考试的时候遇到类似的题目的确能快速反应并作出解答。
但总会有一些题目仍然会难倒你，因为你做题总是在你的脑子中检索，看这道题目和你自己之前写的有没有相似之处，有就可以奋笔疾书，没有就只能陷入沉思！往往忘记了这道题目背后涉及的知识点和基本的定义。
立足基本概念
如果你立足于定义，对学过的知识点烂熟于心，你知道这个知识点最本质的东西，那你做题的时候也许就不是这样一个思路，你会从这道题目本身出发进行分析，而不是仅仅套用以前的模板，这就是刷题和立足于基础知识的一点区别吧！
数学的学习
一方面只是刷题显然忽略了知识点最底层的东西，就像摩天大楼没有一个可靠的地基，外表看起来很高大，也许只是外强中干！另一方面只有基本知识点好像也太理想化了，因为做数学题还是需要一些数学技巧的。
在我看来，数学的学习要将二者结合起来，但是有一点：基本原理和基本方法一定是最重要的，九层之台起于垒土，扎实的基础绝对是学习数学最重要的法宝。在此基础上适当的做题，积累一些数学处理上的小技巧，你就很容易快速进步！
★ 多面体欧拉公式
今天我将通过一道例题给大家完整地讲述大神数学家——欧拉在立体几何领域中的一个著名的公式：多面体欧拉公式。说到欧拉，大家或多或少都了解吧，简单介绍一下这位天才数学家：
莱昂哈德·保罗·欧拉（1707年4月15日--1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。
欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大贡献。他引进的许多数学术语和书写格式，例如函数的记法"f(x)"，一直沿用至今。此外，他还在力学、光学、天文学等学科有突出的贡献。
欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其学术著作有60-80册。法国数学家拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。
回归正题
本期分享的这道例题也是比较有水平的，属于新题型的考察，这类题可以说是题海战术的克星，考察的是你的数学素养和短时间内的学习能力！同时通过这道例题也给大家讲述著名的多面体欧拉定理。今天的分享内容会比较充实，如果你能充分理解，你一定能收获很多课外数学知识以及学习数学的方法！
本期例题涉及到的数学知识点：
1、多面体曲率的定义：新型题目，题干给出多面体曲率的定义，需要结合给定的概念从定义出发解决题目，短时间理解并简单应用。
2、多面体欧拉公式：三种视角下分析欧拉公式：立体图到平面图的转化法、多面体内角和不变法、数学归纳法。最终证明多面体顶点数V、棱数E、面数F之间满足的欧拉公式！
Let's begin
★ 总结时刻
题目
到此为止，本题目的分析全部结束，本期我们分享的这道题选自《2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练——数学试题》的第20题，属于立体几何的范畴，它属于那种新概念题型，这类题目是题海战术的克星，真正考察学生的学习和理解能力。其实这道题目考察的核心还是在于“多面体欧拉公式”，而这个公式在高中课本上是出现过的，应该是在选修2-2第一章的一道例题中出现过，可能很多人并没有太过重视，考试的时候可能就会卡住，很难得分。所以说这道题目并没有超出课本的范围，只是大家可能只关注刷题，而忽略了最根本的东西——课本，所以就会觉得这道题不容易做出来。
揭开多面体欧拉公式的面纱
今天我的分享其实核心还是给大家讲述“多面体的欧拉公式”，当你真正了解了欧拉公式以后，这道题目也就没有什么难度了，基于欧拉多面体定理来审视这道题目，就有一种拨云见日的感觉，豁然开朗。关于欧拉公式的证明，我讲述了三种方法，分别为：立体图到平面图的转化法、多面体内角和不变法、数学归纳法。在证明过程中都或多或少用到立体几何的空间思维，而这种题你永远不可能用建立空间直角坐标系的方法去处理，立体几何的本质还是在于空间思维，没有了空间思维立体几何中的那种空间美感也就不复存在了。
在比较中学习和感受
对比3种证明方法，不难发现每一种证明都有其独特的魅力，但都没有脱离立体几何的空间思维。证明方法1主要关注的是立体图到平面图的转化以及平面图的裁边处理过程，更多的关注动态变化引起的顶点数、棱数和面数的变化，根据变化以及初始状态和结尾状态进行具体分析；证明方法2主要是以多面体的各面内角和为一个中间变量，分别从立体图和平面图两个角度出发进行分析，最终殊途同归，导出欧拉公式；证明方法3主要是采用数学归纳法的思想，假设当V = k时公式成立，分析V = k + 1时是否满足，通过对多面体进行收缩将顶点数为k和k+1两种情况联系起来进行分析，最终证明欧拉公式。
每一种方法关注点不同，分析思路不同，但都有其价值。坐标系加向量是处理立体几何问题的标准解法，但也不是万能的，且缺少做题过程中的空间体验感，大家有时间还是多多体会那些真正从空间思维出发处理立体几何问题的方法，至少你可学到很多巧妙的思维，这对于以后的学习都是很有帮助的！今天的分享到此结束，感谢大家的阅读，希望今天的分析对大家会有帮助，我们下期再见。
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