黎曼猜想是到现在还未解决的世界七大数学难题（千禧年大奖难题）之一。黎曼猜想起源于素数的分布问题。
大约公元前350年，欧几里得证明了每一个大于1的计数数要么是素数，要么具有唯一的素数分解。这称为算术基本定理。掌握了某个整数的唯一素数分解就能知道这个整数的许多数学性质。
那么“黎曼假设”又是什么呢？
猜想的诞生
黎曼于1826年9月出生于汉诺威王国（现属德国）的布雷斯伦茨（Breslenz）的一个小镇。1847年，黎曼完成了在哥廷根大学的第一年学习，然后转去了柏林大学。在柏林大学，他接受了许多世界级数学家的指导，如斯坦纳、雅可比、爱森斯坦及狄利克雷，特别是狄利克雷对黎曼的影响最大。数学家克莱因写道∶
……黎曼被狄利克雷所深深吸引。狄利克雷喜欢在一种直觉的基础上弄清事物，与此同时他会对基本的问题给出精确的、合乎逻辑的分析，并会尽量避免冗长的运算。他这样的方式很适合黎曼，于是黎曼采用了这种方式……。
纵观一生，黎曼主要以一种直觉的方式在研究，他对严格逻辑论据从未感到过兴趣，这是黎曼最终成功的必不可缺的条件。对许多数学家来说“依赖于直觉”只能偶然获得成功，但黎曼的数学直觉却是令人难以置信地准确，他的结论通常被后人证明是正确的。
1849年，黎曼回到哥廷根大学攻读博士学位，他得到了高斯的指导。在黎曼递交博士论文之后，高斯将这篇论文形容为，
一个辉煌而丰富的创举。
黎曼完成论文之时，一场关于数学观念的革命正接近高潮，数学的焦点不再是计算，而是系统地理解抽象的概念。在这次革命的影响下，证明不再是一件按照规则来转换术语的事，而是一个对概念进行逻辑推理的过程。
狄利克雷认为，所谓函数是一种规则，而这种规则并不一定需要代数式子来规定。只要是取定一类对象并从中产生出新的对象的规则就是函数。
这一思想在微积分的发展中富有成果。数学家把函数视作抽象概念，研究它们的连续性和可微性。法国的柯西给出了关于连续性和可微性的著名定义，
这给微积分打下了坚实的理论基础。“黎曼猜想”属于解析数论中范畴。在解析数论中，微积分的方法被用来求得关于正整数的结果。黎曼在1859年发表的题为“论小于给定值的素数的个数”的论文中提出了“黎曼猜想”。这篇文章写得很粗略，讨论关于素数分布的各种思想和方法。
素数知多少？
不难发现，数字越大，素数出现的频率就越低。10以下的整数中有4个素数，100以下的素有25个，而1000以下的素数只有168个。要计算小于一个数N的素数的密度，只要把小于N的素数的个数P（N）除以N，即得到
下面是1到10，1到100，1到1000，1到10000，1到100 000和1到1000 000的素数密度，
越往后，密度便越小。这样的减小是一直持续，还是当到达某一点时开始逆转？或者到达某一点后便不再有素数？素数分布是否有某种规律？这些问题让古希腊人着迷，并从此让数学家欲罢不能。
欧几里得回答了其中的一个问题。他证明了素数有无穷多个。而另一类关于素数模式（规律）的问题则非常棘手。其中有两个至今都没有解决，它们便是孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。
挛生素数猜想是指是否有无穷多个素数"孪生对"，即仅相隔2的两个素数，如11和13，17和19，还有更大的素数孪生对，如
哥德巴赫猜想是1742年由业余数学家哥德巴赫提出的，它说每一个比2大的偶数都是两个素数之和。最接近这个猜想的证明是由中国数学家陈景润于1966年给出的，他证明从某个数N开始，每一个比2大的偶数要么是两个素数之和，要么是一个素数和两个素数的乘积之和。（他的证明并没有告诉你N是多少，而仅仅是证明了存在这样一个数。）
有关素数模式的最深入的观察高斯提出的。1791年，只有14岁的高斯注意到素数的密度近似于1/In N。N越大，近似的程度越好。但高斯始终无法证明他的猜想。这件事最终在1896年由法国数学家阿达马（Jacques Hadamard）和比利时数学家瓦莱·普桑（Charles de la Vallee Poussin）各自独立地完成。他们的成果在今天被称作素数定理。
如果用图表现素数，简单的方法是在x轴上标出素数，
这是一群离散的点，而函数l x的函数图是一条光滑连续的曲线，
问题是∶为什么图x轴上这些间距不规则的点与这条光滑的曲线会有联系？函数lnx怎么会告诉我们关于素数分布模式的事情？
数的地形
职业数学家用地理学的方式看待抽象数学从而对其进行大量的研究。例如，下图是函数z=sin（xy）的函数图
函数z=sin（xy）的图像。
这个公式十分抽象，需要训练和努力学习才能理解。但从它的函数图像中一眼就能看出很多东西。数学家开始意识到，理解整数（计数数）性质最好的方法是在一个合适的地形（也就是几何）背景中观察它们。这个背景被称作复平面。
最基本的数是计数数。大约到公元前700——前500年，古希腊人开始发展他们的数学时，才从计数数扩展到分数（有理数）。有了分数，我们可以计算或测量整体中的部分了。起初，希腊人认为有理数足够让人们完全精确地测量长度，但后来发现，两条直角边都是1个单位长度的直角三角形，它的斜边长度就不是一个有理数。
为了测量所有的几何长度，数学家不得不发展出一套更为丰富的数字系统，它不仅包括自然数和有理数，还有许多其他的数。所有这些数统称为实数。
实数作为一条连续直线上的点这种图示直观自然，但从数学上予以理解就成了一件棘手的事。虽然后来古希腊人和此后所有的数学家都使用实数，但直到19世纪下半叶，人们对实数才有了全面深入的理解。同样是到19世纪，数学家才终于认可负数是真正的数。
16世纪，对于如
这样的方程，数学家认为不可能有解，，至少不可能有实数解。但是存在着这种方程有物理意义的情况，在这些情况下，这个方程应该有解。
欧拉于1770 年在他的著作《代数》（Algebra）中首先将负数的平方根称为“虚数”。他指出，“诸如，
这样的数，是不存在的数，或者说是虚数。
那么，这些虚数的本质又是什么呢？为了使一种在其他方面完全能让人接受的计算有意义，数学家发明了复数。为得到复数，需要先假设一个新的数i，它具有性质
i不是实数，这意味着它并不是实数轴上的点。但你可以把i与任意实数k相乘形成一个新数ik。用这种方法得到的数叫做虚数。如5i就是一个虚数。在几何上，全体虚数组成了第二条直线，与实数轴垂直，
一个实数和一个虚数相加得到复数。从几何上说，复数是二维平面上的点，其x轴是实数轴，y轴则是虚数轴。实数也必然都是复数（虚部为0）。
最近几十年，复数已在数学、物理学与工程的大量领域中展现出其无与伦比的作用。i还出现在了量子力学最基本的方程中。可以证明，与实数相比，用复数进行研究最显要的好处是，每一个算术（即多项式）方程都会有解。
从几何上来说，复数也远比实数优越。实数并不具有真正的几何；它们只是直线上的点。你唯一所能做的是测量直线上的距离。而复数形成一个二维平面，那意味着你能做某种真正的几何。在19世纪研究出来的复平面几何学是数学中最丰富、最美丽的一个部分，而它的应用远远超出了16世纪最早发现复数的数学家的想象。
用威力强大的微积分技术所加强的几何方法，使得人们发现了关于复平面的一些最深刻的结果。
黎曼zeta函数
既然自然数都是复平面内的点（它们都在x轴的正半轴上），研究复平面性质的时候，我们有时能推导出关于自然数的事情。用微积分分析某些复变函数的性质以研究自然数是数学的主要领域之一，被称作解析数论。黎曼问题就是解析数论中的一个问题。
用解析数论去研究素数模式的关键是找到一个能提供素数信息的函数。迄今已发现了几个这样的函数。第一个是由著名的瑞士数学家欧拉发现的，
如果s小于等于1，所得出的和将是无穷大。也如果s大于1，和将是有限值。这就是为什么欧拉限定函数只能用于s大于1的情况。当s=2时，欧拉算出，
但zeta函数与素数有什么关系呢？欧拉证明了对大于1的任意实数s，zeta（s）等于无穷乘积，
这个积就是所有形如
的项相乘所得的积，其中p为全体素数。
尽管无穷和的定义看似复杂，但函数有不少良好的数学性质。特别是，其图像是光滑的，因此可以用微积分的方法对其进行研究。
作为一个实数到实数的函数，zeta函数是个一维的对象。因此，虽然通过欧拉的无穷乘积可以让它与素数相联系，但它没有丰富的几何结构来帮助我们揭示素数的模式。基于这样的考虑，研究必须是二维的。黎曼就迈出了这关键的一步。他用复数z代替实数s，使zeta（z）函数的值也成为复数。
已经证明欧拉的无穷和对某些复数并没有意义。但是一种被称为解析延拓的精巧数学方法解决了这个难题。
解析延拓的思想是，对于像zeta函数这样的情况，有一种可供替代的求函数值的方法，它几乎对所有的复数都适用。对于函数本身，这种可供替代的方法能让我们计算任何复数z的zeta函数值（除了z=1这一特例之外）。从函数的初始定义到这种可供替代的方法的过程称作解析延拓。因为黎曼是做出这种转换的第一人，所以复变函数zeta通常也称作黎曼zeta函数。在黎曼1859年的那篇著名论文中，他运用了zeta函数来探讨素数的模式。
他的本意是为了证明高斯的猜想，即对于较大的数n，小于n的素数的密度D_n被1/ln n所逼近，这结果是现在我们熟知的素数定理。虽然他未达到证明的目的，但是他的工作提供了素数与复平面几何之间的坚实联系。不仅如此，他的方法还为阿达马和普桑最终于1896年证明素数定理打下了基础。
黎曼发现zeta函数与素数的关键联系是∶密度函数D_n与方程zeta（z）=0的解有密切的关系。
由这个方程解出的任何复数都被称作zeta函数的"零点"。在那篇仅有8页的论文中，黎曼对zeta函数的零点作了大胆的猜测。他首先注意到-2，-4，-6，…都是零点。也就是说，当z 是负偶数时，zeta（z）=0。他然后证明除了这些实数外，zeta函数还有无穷多个其他的复数零点。他猜测，所有这些其他的零点都可表示为,
的形式，其中b为实数，即它们的实部都是1/2。从几何上来说，函数的所有非实数零点都位于复平面内经过x轴上1/2这一点的竖直线上，这条直线通常称为临界线，
黎曼函数的零点。对所有的负偶数n，zeta（n）=0。黎曼假设说，使得zeta（z）=0的无穷多个其他复数z都位于临界线上。
阿达马和普桑证明素数定理时，并不需要这个关于零点的猜想（现在被称为黎曼假设）。由黎曼zeta函数所提供的素数与复平面几何之间的联系对他们证明素数定理已经足够了。但如果黎曼的猜想是正确的，那么它将对我们关于素数的知识产生重大的意义。黎曼证明如果函数的所有复（非实）零点都有实部1/2，则密度函数D_n与曲线1/In n之间的差异程度以一种系统的随机方式变化。这意味着，虽然无法准确地预测下一个素数会在哪里出现，但总的来说素数的模式是非常有规律的。
