待定系数解法求解四次方程
佛山市听音湖实验中学梁启滢
学过代数学的读者都知道，四次方程是求解难度极大的高次方程.在数学史上，意大利数学家费拉里（Lodovico Ferrari，1522-1565）在16世纪首先发现了四次方程的求根公式，该公式被数学界沿用至今.当今主流计算软件Matlab，Mathematica，Maple都是采用费拉里的求根公式来求解四次方程.然而费拉里的求根公式需要用到三次方程的求根公式——卡丹公式，因而有时方程有四个实数根，但它们却全部需要借助虚数开方来表示.此外，它的推导过程比较复杂难懂，结果更是冗长难记.笔者在研究用三角参数法求解三次方程的基础上，通过待定系数法找到了四次方程的一种解法.它在本质上和费拉里的解法是等价的，但比较形象易懂，通过求解三次方程即可得到待定系数，从而将四次方程降次为两个二次方程，最终实现求解.在某些情形下，用该法求得的根比费拉里公式得到的结果在结构形式上会更简单些.
待定系数法求解四次方程的核心依据是下面的引理.
综上可知，结论成立.
而得到两个二次方程：
软件和我们手工计算得到的结果一致，但通过整体换元得到的表达式更简洁.
