梁启滢:待定系数解法求解四次方程

梁启滢:待定系数解法求解四次方程
2024年01月29日 20:09 崔老师数学角

待定系数解法求解四次方程

佛山市听音湖实验中学梁启滢

学过代数学的读者都知道,四次方程是求解难度极大的高次方程.在数学史上,意大利数学家费拉里(Lodovico Ferrari,1522-1565)在16世纪首先发现了四次方程的求根公式,该公式被数学界沿用至今.当今主流计算软件Matlab,Mathematica,Maple都是采用费拉里的求根公式来求解四次方程.然而费拉里的求根公式需要用到三次方程的求根公式——卡丹公式,因而有时方程有四个实数根,但它们却全部需要借助虚数开方来表示.此外,它的推导过程比较复杂难懂,结果更是冗长难记.笔者在研究用三角参数法求解三次方程的基础上,通过待定系数法找到了四次方程的一种解法.它在本质上和费拉里的解法是等价的,但比较形象易懂,通过求解三次方程即可得到待定系数,从而将四次方程降次为两个二次方程,最终实现求解.在某些情形下,用该法求得的根比费拉里公式得到的结果在结构形式上会更简单些.

待定系数法求解四次方程的核心依据是下面的引理.

综上可知,结论成立.

而得到两个二次方程:

软件和我们手工计算得到的结果一致,但通过整体换元得到的表达式更简洁.

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