笛卡尔的直角坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分是十七世纪数学最伟大的三大发明.
对数的概念是由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）在 1614 年所公布。18 世纪法国的大数学家拉普拉斯曾评价对数的发明：“在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”。
这样的高度评价源于对数在科学计算上的巨大贡献。在计算器和计算机尚未出现的时代，对数的应用大大简化了复杂的计算过程，这一发明对科学、工程和尤其是天文学的影响深远。
这次让我们来看下对数以及如何简化计算的视频.
对数函数(Logarithm)
对数函数是数学中的一种基本函数，它是指数函数的逆函数。如果我们有一个指数方程 ，那么对应的对数方程是 。
其中 是底数， 是真数。这里的 就是 的以 为底的对数。
换句话说，对数函数回答了这样一个问题：底数 需要被乘以自身多少次才能得到另一个特定的数 ？
对数中，如自然对数底 ，常用对数底 ，以及二进制对数底 。在数学和工程学中，自然对数和常用对数尤为重要，而二进制对数在计算机科学中具有广泛应用。下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域(图自维基):
对数和指数的互逆关系
指数与对数是互逆关系, 两者在数学中都是非常重要的. 从下面图形中可以看到左边为指数表达, 右边则是对数表达结构:
对数函数动画
那么对数的图像在定义域内, 究竟是怎样变化呢? 请观察下面一系列取不同底数时候对数的函数图像, 注意当 时在不同范围内如何变化:
对数函数的图像显示了这一点，它展示了随着底数的变化，函数图像是如何从 点开始，根据底数是大于 1 还是小于 1 分别向上或向下增长。
具体地说，当 时，图像随 增加而递减；当底数 时，我们得到一个随 增加而增加的图像。
观察要点:
函数必经过点 处;
当 时，函数为严格单调下降；
当 时，函数为严格单调上升；
指数与对数是互逆函数，现在用动画的方式来对指数和对数来进行一个对比:
对数函数必定会通过点 ，因为任何数的 次幂都是 1。而 线则作为指数函数和对数函数图像的对称轴，其中指数函数始终通过点 。
观察要点:
对称轴为 ；
指数函数必经过 点;
对数必经过 点;
对数函数的性质
对数函数具有一些重要的性质，这些性质能够简化复杂的数学运算和数据处理。
乘法转加法：对数的一个核心性质是将乘法运算转换为加法运算。即：
除法转减法：类似地，对数可以将除法运算转换为减法运算，即
幂运算转乘法：对数还可以将幂运算转化为乘法，即
对数的底数变换公式：
其中 是新的底数，这个公式使得我们能够在不同底数的对数之间进行转换。
伟大的对数表(Logarithm Tables)
现在我们回过头再来解释下为什么拉普拉斯说对数为"用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍".
原因就是, 在16世纪和17世纪，天文学家和航海家需要进行大量的计算，以确保精确性和安全性. 这些计算通常涉及复杂的三角函数和大数的乘除法, 非常耗时且容易出错. 而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算, 这个发现当时震动了整个数学界.
我们来看看怎样利用对数的性质来简化计算, 简单来讲是将注意力从需要参与计算的数转移到了幂的部分, 只要底数相同, 利用前面的运算性质就能使得计算变得简便.
以计算 512×8192 为例看下整个计算的过程. 下面图形是底数为 2 对应的幂以及相对应的结果, 类似这样的映射关系是人们可以直接从《常用对数表》直接查询到的.
想要求出 512×8192 的结果, 需要查 512 所对应的指数为 9, 而 8192 对应 13.
然后可以轻松计算出 9+13=22, 上面过程用公式表达如下：
再去《对数反查表》中反向去查 22 所对应的值, 就得到结果为 4194304, 因此，.
上面是把两个大数(512×8192)的乘法转化成加法 (9+13) 借助查表算出结果, 类似对于大数的除法运算也可以转成减法来做. 加减法当然要比乘除法更容易的多, 所以说这是一个伟大的简化数值计算方法.
