各位同学们大家好！我是李永乐老师。
之前我做了两个系列节目：《漫谈相对论》和《从亚里士多德到牛顿的宇宙》，我想，第三个系列节目就换换口味，讲讲数学的一个小分支，在经济学上又很有用的学问——博弈论吧。
我在北大读书时，学过一点经济学，但是没有系统学习过博弈论这门课。今天所讲的都是我个人对博弈论的理解，如果有不准确的地方，欢迎大家批评指正。在这个系列中，我把之前零零散散讲过的博弈论内容进行了总结（所以，这是一个炒冷饭的内容），希望大家喜欢我的讲述。
“弈”这个字，原本意思是下棋。请问各位同学，你会下棋吗？你下棋输过吗？如果我说，围棋也好，象棋也好，其实都是有必胜法的，你们相信吗？
我们假设有一个非常简单的游戏，先手A和后手B各做一次决策（选择上路或者下路），根据二人决策的结果，游戏的胜负如下。通过这个表格，你能知道游戏的结果是谁获胜吗？
也许有同学认为：A的赢面大一些，因为A有2种可能会赢，而B只有一种可能会赢。事实并非如此。这盘棋的结果一定是和棋（除非有一方实在脑子不太好用，才会输掉）。
我们可以画一个游戏树来解释：
我们看：如果先手A选择上方，游戏进入到一个由进行B进行决策的分支，这叫做一个子游戏。在这个子游戏中，B选上方就A获胜，B选下方就B获胜，B要选择对自己有利的，所以他一定选择下方。这个子游戏的结局是固定的，就是B获胜。
如果先手A选择下方，游戏进入到另一个由B做决策的子游戏中，这时B选上方就A获胜，B选下方就和棋，B要选择对自己有利的，所以这个子游戏的结局一定是和棋。
我们再来考虑A：若A走上方，进入子游戏1，一定B获胜；A走下方，进入子游戏2，一定和棋。A也要选择对自己有利的，所以A选择下方。最终的游戏就是和棋。
如果游戏复杂一些，也不过是分支变多，长度变长，但是只要我们从最后端的子游戏开始，一层层倒推，就一定能推算出在最优策略下，游戏到底是先手胜，还是后手胜，还是和棋，这种胜负是不可避免的。
其实，象棋也好，围棋也好，它们与我刚才举的例子没有本质不同，只是复杂度高得多。而且，由于制定了一些胜负以及和棋规则，下棋的步骤也是有限的。
理论上讲，我们是可以画出围棋的游戏树的，如果我们遍历了所有情况，就能知道围棋结局到底是先手必胜，还是后手必胜，或者一定是和棋了。只是，这个过程过于复杂。
以围棋为例。围棋在19x19=361个格子上轮流放棋子，所以每个格子有黑白空三种可能，整个围棋棋盘上的状态数上限是3361=1.7×10^172，去掉一些重复和对称，围棋的状态复杂度大约是10^172量级。
要知道：宇宙中的原子个数只有大约10^72个，就算用宇宙中的一个原子代表一个围棋局面，穷尽宇宙中所有的原子，也不能表示出围棋所有的棋局局面。
围棋的游戏树就更难画了。因为围棋可以提子，有了空白的地方可以继续下，所以并不一定是填满了棋盘就结束。不过，我们可以估计游戏树的总层数和每一层的平均分支。根据统计和计算：一盘围棋的平均手数是150手，每一手的平均分支数是250种，所以整个围棋的游戏树复杂度大约是250^150≈10^360。
理论上讲，如果我们遍历了所有10^360种情况，就能知道围棋结局到底是先手必胜，还是后手必胜，或者一定是和棋了。但是，这个计算量实在太大了。之前世界上最快的计算机富岳每秒最高可以计算100亿亿次浮点运算，假如1次浮点运算就能算出一条路径，那么算完所有围棋游戏的可能情况，需要10^342秒，而宇宙的年龄只有138亿年，大约只等于10^17秒。
虽然我们无法计算出这个最优策略，但是显然，这个最优策略一定是存在的。
不仅仅是围棋，所有的明棋都是这样，只不过复杂度不同而已。
1913年，数学家策梅洛证明：对于一个两人的完全信息游戏，一定存在一个策略，要么先手一定获胜，要么后手一定获胜，要么双方一定平局，这就是泽梅洛定理。
策梅洛定理告诉我们：假设双方都是棋类大师，对游戏树了如指掌，这时候他们一定会采用统一的策略，让游戏向固定的方向发展，最终的结局也是固定的。
因为，任何一个人单方面的改变决策，都会对自己不利。正如我们刚才举例的那个小游戏，如果A改变决策，将会让B获胜；如果B改变决策，将会让A获胜，双方都为了自己的利益考虑，一定会出现A选择下路，B也选择下路的情况，最后游戏就一定是和棋。
实际上，在许多的博弈过程，都和下棋很像，参与博弈的几方能采取的策略都是有限的。在1950年，著名的数学家约翰纳什证明了一个更加普遍的结论：
只要参与博弈的几方策略都是有限的，那么就一定存在一种平衡状态，大家都会采用这种平衡策略，而没有单方面改变策略的动力。这种平衡状态就叫做纳什均衡。这个规律就叫做纳什定理。
刚才举的下棋的例子，最优策略就是纳什均衡，策梅洛定理其实是纳什定理的一个例子。在我们所处的世界中，无论是政治还是经济，都充满了博弈论和纳什均衡的例子。你想了解更多吗？关注我，下一回继续带大家漫谈博弈论。
