俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼（Grigori Perelman，1966年6月13日-）。 图源：George M. Bergman/维基百科
导读：
佩雷尔曼恐怕是拒绝菲尔兹奖的唯一数学家。2006年6月，当国际数学联盟主席约翰·波尔爵士跑到圣彼得堡，花了两天的时间劝说佩雷尔曼接受菲尔兹奖后，佩雷尔曼的回复是拒绝。
“奖项对于我来说完全无关紧要，每个人都明白，如果证明是正确的，那么不需要其他的认可。”佩雷尔曼说[注1]。
[日]春日真人 | 撰文
孙庆媛 | 翻译
《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》| 来源
2006 年的西班牙马德里，国际数学联盟(IMU) 在此主办的菲尔兹奖颁奖仪式即将开始。西班牙国王胡安•卡洛斯一世作为颁奖嘉宾莅临现场，同时会场中还汇聚了来自世界各地、活跃在学术最前沿的4000 余名数学家们。
作为数学界的最高荣誉奖项，四年一度的菲尔兹奖仅授予在四年间做出突出学术贡献的数名数学家，因其获奖人数之少，也被认为是较诺贝尔奖具有更高权威的奖项。
而这一年，毫无疑问，大家都认为菲尔兹奖应当授予给出了庞加莱猜想证明过程的那位数学家。
当原国际数学联盟主席，来自牛津大学的约翰·波尔(John Ball) 教授出现在颁奖台上，将要宣布获奖者姓名时，从观众席上传来了热烈的掌声。波尔教授稍微停顿，等待掌声平息之后，正式宣布：“本届菲尔兹奖授予来自圣彼得堡的格里戈里·佩雷尔曼博士！”
与此同时，一个巨大的、蓄着长胡子的男子的头像照片也出现在颁奖台上方的屏幕上。这个人正是格里戈里·佩雷尔曼（Grigoriy Perelman）博士，正是这位40岁的俄罗斯数学家证明了素有“世纪大难题”之称的庞加莱猜想。教授话音刚落，会场上就响起了雷鸣般的掌声，这掌声，是与会的数学家们对这个可以称得上是数学界百年一遇的奇迹的赞叹，也是他们难耐心中喜悦的真情流露。
但是，在此之后，事件的发展陡然急转直下。“非常令人遗憾的是，佩雷尔曼博士拒绝前来领奖。”波尔教授随后就宣布了这一消息。当时，会场中可能有人没有听清楚教授的这句话，或者是根本没理解教授的意思，仍然有稀稀拉拉的掌声响起，但很快就安静下来。数学家们不敢相信，佩雷尔曼博士居然就这样拒绝了领取菲尔兹奖的奖章和奖金，并且根本没有出现在会场，这是真的吗？
这个事实对于那些曾经倾注十分的心血、万分的努力想要亲自证明庞加莱猜想的数学家们来说，不啻于一记闷雷。
1
俄罗斯人在美国
1992 年，当众多数学家都把目光投向几何化猜想的证明时，有一位青年踏上了美国纽约的土地。从这一刻起，庞加莱猜想的研究工作就迎来了其漫长历史中最为重大的转机。这位青年就是当时年仅 26 岁的格里戈里·佩雷尔曼。
祖国苏联的解体促使佩雷尔曼决定远渡重洋来到美国，就在那一年，从苏联流向世界各地的科学家有将近 2100 人，达到了历史最高值。东西方阵营数学家们的交流已停滞多年，而这一改变了世界历史的政治事件，也成为了一举破除封闭、开启交流的契机。从此以后，双方的交流逐渐走上了正轨。
佩雷尔曼当时是以研究员的身份来到纽约大学柯朗数学科学研究所（CIMS）留学的。他的研究方向是微分几何学，这一学科在数学中的主流地位曾经一度被“新数学”拓扑学所取代。柯朗数学科学研究所当时集中了众多在微分几何学领域实力强大的数学家们。其中，来自中国的田刚教授（现任普林斯顿大学教授）就曾经和刚刚来到美国的佩雷尔曼建立了良好的关系。对这位在很多方面都不走寻常路的俄罗斯数学家，田刚教授至今仍记忆犹新。
“他讲话的方式简单清晰，对自己的研究领域有着很深入的理解。和大多数的数学家不同，他对很多技术上的细节也了如指掌，这一点很了不起。至于外表上的印象，我记得他总是留着很长的胡子，不太剪指甲，不管什么时候都穿着那件他很喜欢的黑夹克外套。我身边和他差不多大的一些年轻的研究员们，会把收入花在日常生活的享乐上。但是佩雷尔曼则相反，他似乎对数学以外的事情一点儿都不感兴趣。”
田刚教授比佩雷尔曼大 8 岁，他们的研究领域虽然都是微分几何学，但两个人彼此感兴趣的研究对象是截然不同的。这两个人都不是那么爱说话的类型，但可能是脾气相投吧，在工作中他们成为了很好的朋友。
“和佩雷尔曼闲谈的时候，我总是不得不为他那丰富的知识而叹服。比如他对世界历史如数家珍。还有一次，我们还一起讨论俄罗斯变动频繁的政治状况，两个人也聊得热火朝天。我还在聊天中得知，他很喜欢音乐。而正好纽约也有大把的机会可以欣赏到歌剧和古典音乐的表演。但遗憾的是，我们虽然都住在这个城市，却一次也没有一起去听过音乐会。
“让我比较诧异的事情是，他总会跑到很远的地方去买面包。他会特地从曼哈顿穿过布鲁克林桥，跑到俄罗斯人聚集区的布莱顿海滩（大街），那里有一家面包店他经常光顾。他还告诉过我为了买一块黑面包，他曾经步行将近 40 千米，而听他的语气似乎还很乐在其中。除了对面包的执着以外，他对散步的喜好程度也超过了一般人。”
田刚教授还告诉我们，佩雷尔曼本人很讨厌坐车，所以他总是背着一个背包走路上班。如果避免不了出远门的话，一般会搭田刚教授的车一同前往。两人还经常和当时的同事杰夫·齐格（JeffCheeger）博士一起搭伴，开车一个小时左右到普林斯顿大学高等研究院参加那里举行的研讨会。
齐格博士的年龄比田刚教授还要大一轮。早在佩雷尔曼还在俄罗斯的时候，齐格博士就已经留意到了他不同寻常的才华。齐格博士也是当初力荐佩雷尔曼来纽约大学留学的学者之一。我们也请他讲述了他对佩雷尔曼的了解。
“我是和他直接谈过话以后才注意到，其实佩雷尔曼是一个非常谦虚温和的人。有一件事可以说明这一点，我那个时候觉得他一定曾经参加过国际数学奥林匹克竞赛，就向他求证。结果他只是简单地承认而已，一点都没有提及他曾经获得过大赛金牌的辉煌经历。“还有一点，佩雷尔曼有着非常强壮的身体和强韧的精神。对那些自己认定为是必要的事情，他的强烈意志和强大能力让他即使排除万难也一定要实现自己的愿望。比如他长途跋涉，走到那么远的地方买一块黑面包，这种有点怪异的行为，不过是因为他认定了那里卖的面包是最好吃的而已。
在美国，佩雷尔曼博士在他的研究方向——微分几何学领域不断取得优异的成果。1994 年，他证明了一个数学上长期存在的超级难题——“灵魂猜想”（Soul Conjecture）。他的论文仅仅用了三页纸的简洁说明就解决了这个过去 30 年间让无数人铩羽而归的问题。佩雷尔曼对自己的论文有着十足的自信。当时看过了这篇异常简洁的论文之后，齐格博士曾经建议他：“应该再补充一些文字使论述更加详细比较好。”但是佩雷尔曼很干脆地拒绝了这个修改论文的建议。
说起这件事，齐格博士也不禁苦笑，他给我们描述了他当时的感受：“看着他那个样子，我就想起了电影《莫扎特传》（Amadeus）中的一个情景。那是剧中莫扎特发布他初期的歌剧作品的一幕。喜好音乐的皇帝对他的歌剧作品评价道：‘音乐非常美妙，但是音符的数量有点太多了吧。’而莫扎特则针锋相对地反驳：‘那么请您告诉我哪一个音符是多余的呢？’他告诉皇帝：‘我的作品里没有任何一个音符是多余的，也没有缺少任何一个音符。’和佩雷尔曼关于修改论文的讨论，我的感受就像这电影中被莫扎特反驳的皇帝一样。”
在当时的数学界，佩雷尔曼这个名字还没有像现在这样如雷贯耳。不过在他专攻的微分几何学领域，他是其中一个特殊的分支Alexandrov 空间理论研究的第一人。日本东北大学的盐谷隆教授也是这个学术分支中在世界上数一数二的知名学者，他给我们详细地解说了一下这个研究领域。
“在数学上，Alexandrov 空间是指存在奇点的特殊空间。对我们这些几何学者来说，流形才是学术研究的热门方向。但是，佩雷尔曼和我都偏偏选择了去研究 Alexandrov 空间这种流形因奇点的存在而崩塌以致消失的特殊空间现象。佩雷尔曼更是这个领域的佼佼者。”
Alexandrov 空间、奇点，这些词语听起来非常陌生。据盐谷隆教授介绍，从事这方面研究的学者非常之少。还有人打趣说，这个领域的研究就是“下等研究”。但实际上，这方面的研究具有非常深远的意义。
“我们举个简单的例子来说明一下。比如我们现在要研究‘人类是什么’这个课题。但是世界上有各种类型的人存在，有的人像计算机一样聪明，也有的人像动物一样野蛮。我们都应该明白，如果要了解人类整体，那么其中一种方式就是去研究这些计算机一样的或动物一样的‘极端的人类’。
“而如果把流形的研究比作‘人类是什么’的研究，那么对存在奇点的 Alexandrov 空间的研究就是类似于我们去研究‘计算机或者动物一样的人类’。要彻底了解流形的性质，很重要的一方面就是要去研究 Alexandrov 空间这样极端的情形。”
日本筑波大学的山口孝男教授在当时和盐谷隆教授共同进行过这方面的研究。山口教授去美国参加微分几何学的学会时，也和佩雷尔曼见过几次。在山口教授的印象中，佩雷尔曼在夏天也穿着一身黑，指甲有点长，整个人散发着一种生人勿近的感觉。但是和他搭话的话，他却出人意料地能够彬彬有礼地回答。
山口教授曾经把自己刚刚发表的论文拿给佩雷尔曼看，他马上就在里面发现了错误，并给教授提出了修改建议：“我有个想法可以把这里改得更好一些，如果你不介意的话我可以帮忙。”而当山口教授反过来夸奖他的论文时，他却很谦虚：“这不过是在别人想法的基础上延伸出来的。”
“佩雷尔曼对数学的执着是坚忍不拔、无怨无悔的，他就像是一个数学的殉道者。”山口教授如是评价。
佩雷尔曼的论文是出了名的简洁，并且难懂。山口教授在读他的论文时，几行字就要花一个星期才能读懂的情况也是有的。不过，佩雷尔曼的论文的内容可信度都非常高。在微分几何学学者中间，甚至流传着这样一句话：“佩雷尔曼是不会错的。
2
不为人知的“转机”
来到美国三年以后，佩雷尔曼迎来了一个重大的转机。那时候的佩雷尔曼经常把自己关在研究室里，不再和周围的人交流自己的研究内容。认识他的数学同行们都觉得这个原本开朗快乐的人身上发生了什么变故。
当时，佩雷尔曼正面临一个抉择，由于他是靠奖学金留在加州大学伯克利分校的，随着奖学金贷款有效期的临近，他必须选择要么在美国寻找一个新的职位，要么就返回俄罗斯。而当时，作为一名拥有出色履历的年轻的俄罗斯数学家，包括普林斯顿大学在内，有多所一流名校都给他提供了教师的职位。但是，不知为何佩雷尔曼都没有点头。
斯坦福大学的雅科夫·艾利夏伯格（Yakov Eliashberg）教授就曾经热情地邀请佩雷尔曼前去执教。这位教授也同样来自于圣彼得堡，他的研究方向也是微分几何学，所以他对佩雷尔曼很有亲近感。
艾利夏伯格教授先是根据大学的规定给佩雷尔曼找好了推荐人。然后希望他写一份自己的简历，发给推荐人看一下。但是，佩雷尔曼却表示：“如果是让了解我的研究工作的人来写推荐信的话，根本就不需要我的简历。而如果是请不了解我的人来写的话，这样的推荐根本就没有什么意义，也不需要什么推荐信了。”虽然道理上能说得通，但是他的这个答复还是非常出乎意料。
艾利夏伯格教授告诉我们：“我跟他解释说，准备好简历会显得更礼貌，而且这也是一种程序上的惯例了。我劝他在这件事上用不着那么较真，但是他的答复还是‘我已经完全明白你的意思了，但是这些并不能说服我改变自己的决定’。最后没办法，我只好把他的意思也传达给了学校的委员会。委员会商议的结果，认定像他这样的怪人，已经超出了委员会可以容忍的范围。我们的说服工作最后以失败告终。但是他为什么要纠结在这样一件小事上，而眼睁睁地放过这到手的机会呢？我到现在也还是想不明白。”
在这个时候，还没有人能够料想到，佩雷尔曼会把目光投向庞加莱猜想这样的世纪难题上。
田刚教授向我们证实，那时佩雷尔曼曾经向多位数学家反复地询问了同样一个问题。“当时我正好和他在聊我的研究工作，佩雷尔曼问了我一个和里奇流（Ricci ow）方程式相关的问题。他问了好几次关于如何在 Alexandrov 空间里构筑里奇流的方法。为什么他要问这方面的问题，我当时还觉得挺奇怪的。”
实际上，那个时期，有一篇数学研究论文在美国引发了学术界的热议。其主要内容就是作者理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton）所主张的“利用里奇流方程式，将有可能证明瑟斯顿的几何化猜想及庞加莱猜想。”
里奇流方程式是汉密尔顿的研究领域“全局分析学”（GlobalAnalysis）中经常会用到的方程式。这个方程式是能够使三维宇宙（三维空间）的形状变为球形的有力武器。而佩雷尔曼博士对这方面完全不了解，所以田刚博士在被问到这方面的问题时会觉得有点奇怪。
里奇流方程式在构成上和物理学中的“热传导方程”（Heatequation，也叫热方程）非常相似。它的源头也可以追溯到物理学的热传导方程式。而佩雷尔曼博士本身在高中时代就很喜欢物理。
“有一天我一定要去挑战一个谁也无法解决的难题。”佩雷尔曼在少年时代就立下了这样的志向，一直等待到现在，这个符合他梦想的难题终于出现了。他意识到如果能够巧妙地利用里奇流方程式的话，就可以解决瑟斯顿的几何化猜想，甚至可以触及庞加莱猜想的证明。
1995 年，在美国停留仅仅 3 年以后，佩雷尔曼回到了俄罗斯。而他做出这个选择的真正理由，至今仍然是个谜。
在他回国前夕，杰夫·齐格博士曾经有一次和他交流的机会，但是那一次也并没有问到关于他的研究内容的话题。齐格博士告诉我们：“佩雷尔曼问了我几个问题。我察觉到他感兴趣的研究方向有了很大的转变，于是问他：‘你不是对这个领域没什么兴趣吗？’他回答说：‘（在这个领域）我有可能会解决掉一个大难题。’”
离开世界一流的数学家们聚集的美国，放弃高收入和非常有保障的研究生活，佩雷尔曼回到了自己的家乡，默默地开始了挑战世纪难题的研究工作。这对任何一个数学家来说，应该都是一个非常困难的抉择吧。
数学家米哈伊尔·高萨罗夫（Mikhail Goussarov）是佩雷尔曼的同乡，也是他数学研究上的前辈，他还记得佩雷尔曼不经意间说过的话。“记不得是什么时候了，我曾经对他说过，虽然挑战那些著名的难题是很有吸引力的，但是难度越大也就意味着失败的时候要承受难以估量的打击。他（佩雷尔曼）听了这番话以后，却非常认真地对我说：‘我已经做好可能会一无所获的思想准备了。’”
回到圣彼得堡以后，佩雷尔曼在俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所工作，他好像被迷住了一样，一心扑在自己的研究工作上。就连那些在学生时代就和他熟识的同事们，也对他的这种改变摸不着头脑。有人告诉我们：“我们在研究所一起学习的时候，佩雷尔曼学长非常开朗，就是一个普通的年轻人。我们那时还常常一起参加聚会，一起庆祝新年。放暑假的时候，他也和我们一起去集体农场勤工俭学，和其他的朋友并没有什么两样。
“但是，自打他从美国回来以后，简直就像换了一个人一样。他变得很少和别人交流，我们也很难再像过去那样叫他出来了。他不再和我们一起喝茶、讨论，连节日也不一起庆祝了。我们都很惊讶于他的这些变化，明明以前他并不是这样的人啊。”
除了研讨会这类集体活动的日子以外，佩雷尔曼渐渐地很少在研究所露面了。他避开了大部分的人际交往，一头扎进研究工作中，夜以继日。
3
百年一遇的奇迹
2002 年的秋天，数学圈里又发生了一件奇怪的事情令数学家们议论纷纷，原来有人居然在互联网上给出了庞加莱猜想和几何化猜想的证明。
不过在数学学术界，时不时就会有研究者冒出来宣称自己已经证明了庞加莱猜想，每次都会让数学界热闹一阵。换句话说，证明庞加莱猜想已经是数学圈里“常有的事”了。对于这篇发表在互联网上的论文，起初大部分的数学家也都是不以为然的。
哥伦比亚大学的约翰·摩根博士是拓扑学的专家，他当初也并没有把这篇论文的研究成果当回事。
“我最初也以为这篇论文不过是胡编乱造的。在我得知这个传言之后的第二天，我就在网上找到了这篇论文。光看开头的前言部分，很难判断出这篇是否是很用心的论文。我直接跳到了最后一页，作者在最后写道：‘如果能够把这种想法一般化的话，就可以证明几何化猜想。从而也可以证明出庞加莱猜想。’看完这段，我当时的想法是，真是够了，这种话我都已经听烦了。”
耶鲁大学的布鲁斯·克莱纳当时的研究目标也是几何化猜想的证明工作。当他看到这篇传说中的论文作者的名字时，他就有点慌神了。
“论文发表在互联网上的当天，我就看过了。我还记得，当意识到通过这篇论文宣称证明几何化猜想的是佩雷尔曼的时候，我就受到了很大的打击。因为我知道他是一个非常具有才华的数学家，而且他掌握了非常广泛的知识和高超的技术能力。不过，数学学术界最初对此还是半信半疑的。毕竟迄今为止，有太多的学者在论文中宣称已经证明这个历史悠久的难题，但没有一个最后被证明是正确的。”
但是有一位数学家从一开始就相信这个证明是正确的。他就是佩雷尔曼的好友田刚教授，当时他已经从纽约大学离职，转而担任了麻省理工学院的教授。田刚教授之所以会知道这篇论文，是因为他有一天突然收到了这样一封邮件：
这封邮件确实是佩雷尔曼发给他的。田刚教授马上打开了指定的网站，阅读完那篇论文后，立即就写了一封简要的邮件回复给他：
收到田刚教授希望他前去解说论文内容的邮件，佩雷尔曼很快就接受了这个邀请。除麻省理工学院之外，普林斯顿大学、纽约大学、纽约州立大学石溪分校也都发出了同样的邀请，于是，佩雷尔曼很快敲定将在这三所大学召开特别讲座。而这离田刚教授邀请佩雷尔曼的邮件发出之日，仅仅过了三天的时间。
田教授告诉我们：“我对这个领域是很了解的。而且更重要的是，我了解佩雷尔曼这个人。一看就知道这肯定是一篇非常重要的论文。因为他是一个非常诚实的数学家。沉默了这么长的时间，他一定有一个不同寻常的理由。”
世界范围内的数学家们起初都在怀疑，这个证明一定有某个地方存在逻辑上的错误或者是跳跃。但是无论怎么反复地读，都没有发现论文中有明显的错误。更确切的说法是，对这篇论文的正确性或错误点，学者们根本就无法做出判断。
论文发表之后的第二年，也就是 2003 年的 4 月，数学圈翘首以待的日子终于到来。那篇论文的作者将在纽约举行讲座，这个消息在全世界传播开来。那一天的会场中人头攒动，既有一直致力于挑战庞加莱猜想的数学家们，也有拓扑学的专家学者。站着听的人有不少，还有的干脆就坐在地上。
这其中，也包括仍然对这个证明持有怀疑态度的约翰·摩根博士、布鲁斯·克莱纳博士，以及柯朗数学科学研究所的杰夫·齐格博士。把自己的半生都奉献给了庞加莱猜想的瓦伦丁·贝纳胡博士，也从遥远的巴黎赶来参会。
当佩雷尔曼走上讲台的时候，突然响起了雷鸣般的掌声，整个会场洋溢着数学家们激动兴奋的情绪。而此时站在讲台的那个留着长发和长指甲，身穿灰色的西装，脚踏一双运动鞋的人，就是那位格里戈里·佩雷尔曼，就是那个曾经留下一句话说自己可能要解开一个大难题了，就挥手作别的年轻数学家。
在这次的讲座上，没有准备任何在一般的学术会议发表时都会使用的 PPT 资料。佩雷尔曼拿起粉笔，转身朝向讲堂里巨大的黑板，没有看任何草稿就直接开始了他的讲解。
约翰·摩根博士至今还对那次讲座进行时的情景记忆犹新。
“可能是性格有点内向，他最初看起来有点紧张。也可能是他已经意识到自己成为了众人瞩目的对象吧。在讲座刚刚开始时，有个学生在讲台上放了一个小小的录音机，开始录下佩雷尔曼的讲解。他才说了几句话就看到了那个录音机，于是马上询问道：‘这是什么？’在听了那个学生的解释以后他的脸沉了下来，动手关掉了那个录音机。”
其实在讲座之前，佩雷尔曼就委托田刚教授，希望这次的行程中拒绝所有的媒体采访。据田教授说，佩雷尔曼觉得新闻媒体基本都不懂他的研究，他也根本没兴趣应付他们，他只希望和真正能够理解自己研究工作的人进行交流。
在讲座的前半部分，佩雷尔曼郑重地介绍了理查德·汉密尔顿教授的研究成果。将近 30 分钟的时间里，他在讲解中不断地提醒听众，“这一部分是汉密尔顿教授已经证明的。”然后他终于说道，“在这之后，我是这样继续进行的。”
讲座开始进入了他自己的证明的讲解部分。
在讲座现场，无论谁提什么样的问题，他都能够对答如流。可见除了自己写的论文内容外，佩雷尔曼对里奇流方程和几何化猜想相关的知识也都非常熟悉，信手拈来。但是对大多数的听众来说，因为不太懂他所讲的这些东西，所以听得真是很痛苦。
这里令数学家们苦恼不已的是佩雷尔曼证明的推论方式。他的方法和拓扑学的研究者们在这 100 多年间用惯了的手法毫无共同之处。贝纳胡博士对这 100 年间庞加莱猜想的学术研究历史知之甚详，但是就连他这回也不知所措。“拓扑学的专家们都完全无法理解佩雷尔曼的说明。讲解的内容确实是在论证庞加莱的猜想，但是大家却跟不上他的思路。”
约翰·摩根博士一直都坚信拓扑学才是数学的王者，他也一直致力于拓扑学的研究。但是在这次的讲座上，他却注意到了一个令人惊讶的事实。“有点讽刺的是，佩雷尔曼的证明，使用的是微分几何学，而不是拓扑学。”
过去拓扑学家们一度认为微分几何学已经太过于陈旧，他们纷纷退出了这一领域的研究。但是这一次，佩雷尔曼正是利用了微分几何学的最新知识，解开了庞加莱猜想这个被认为是拓扑学象征的世纪难题。
在他的证明中，还频繁地出现了“能量”“熵”“温度”等词汇。可见佩雷尔曼博士在挑战这个难题的过程中，还研究了热力学领域的相关理论，而热力学就是他在高中时代所热爱的物理学的延伸中的一个分支。
微分几何学、热力学，这些对一直坚信拓扑学才是数学之王的研究学者们来说是一个巨大的冲击。
贝纳胡博士形容道：“这就像是一场噩梦。我一直所恐惧的情景，就是别人会用一种我根本不了解的方式证明出庞加莱猜想的那个瞬间。”
约翰·摩根博士描述了当时大家的感受：“许多数学家一直以来都把自己的精力倾注在庞加莱猜想上，当看到证明已近完成的时候，他们会很沮丧；而当他们了解到这个证明中没有使用拓扑学的方式时，沮丧更上一层；到最后他们发现自己竟然理解不了这个证明，这让他们更加万分沮丧。拓扑学的专家们的感受则是这样的：‘天哪，庞加莱猜想终于被证明了！但是我怎么完全听不懂这个证明过程呢？谁来帮我解释一下……’”
除此之外，整个讲座中还有一件很奇怪的事情。那就是佩雷尔曼在演讲中从来没有明确地宣称说这个世纪难题已经“得到证明”了。
“佩雷尔曼确实完成了非常了不起的工作。但在是否证明了庞加莱猜想这个关键点上，他的言辞很模糊。他的演讲中一次也没有明确地宣称过自己已经解决了这个难题。”参加了那次讲座的布鲁斯·克莱纳博士也证实了这一点。
在座的大部分听众，都非常关心佩雷尔曼是否会进行“宣言”。
但是整个讲座进行下来都没有什么吸引人眼球的特别之处，反而是越来越偏向技术性的分析。随着时间的推移，听众逐渐在减少，留下的都是边集中注意力听讲解，边动手记笔记的数学家们。这些人也都心知肚明，即使到讲座结束，估计也不会像别的学术会议一样，
最后会有个人出来总结说“问题已经被证明”。
那么，佩雷尔曼真的没有完成几何化猜想的证明吗？其实并不
是这样的。只不过和一般的做法不同，他在论文中使用极尽低调的
方式对此进行了叙述。
布鲁斯·克莱纳博士告诉我们，一般的数学论文会在正文中间用加粗或者是斜体的方式突出“定理”“几何化猜想”的字样，以强调这些关键词语。但是佩雷尔曼并没有这么做。他只是在某个段落的中间部分表述了这一点。可能是因为他并没有多么期望别人因此而夸赞他吧。虽然这种态度可能有点怪，但这并不是我们需要优先考虑的事项。
佩雷尔曼在美国的演讲取得了巨大的成功。作为讲座的策划者，田刚教授在这短短的 2 个星期左右的时间里，针对证明内容中存疑的部分，逐一向佩雷尔曼进行了求证。他们之间的讨论交流，甚至比当初同在纽约大学时都要深入。田刚教授最初的想法，不过是觉得这个证明中包含的技术上的技巧一定也能应用到自己的研究工作上，但没想到这件事会带来比预期的更大得多的影响。
在佩雷尔曼快要结束在美国的行程之前，有一天田刚教授邀请他共进午餐，在午餐之前他们还一起去散步。那一天晴空万里，天气非常好。麻省理工学院校园旁边有一条查尔斯河，他们两人沿着河边的小路慢慢地往前走。
“我们穿过了大学附近的哈佛桥，沿着河边一边走一边谈论数学的话题，还有他证明的问题和他的假设等。除此之外，还聊了一些关于家庭的，以及关于俄罗斯的话题。那次散步非常令人感觉愉快。”田教授如是说。
在这次短暂的散步过程中，佩雷尔曼也透露了许多惊人的事实。
据他说，在回到俄罗斯不久之后，大概在 1996 年的 2 月他就已经发现了问题的突破口，然后才真正下定决心投入到这方面的研究工作中。更令人吃惊的是，其实早在那篇论文发表的 2 年之前他就已经开始着手证明这个问题了。2000 年时，证明已经基本完成。但是因为他坚决不允许自己出一点儿错，所以直到能够确信证明完全正确，他才正式发表了论文。
在散步返回的时候，佩雷尔曼向田刚教授提出了自己的一个愿望。佩雷尔曼当时告诉他说，希望可能的话用 1 年半到 2 年的时间，努力使世界范围内的数学家们都能理解他的证明。他认为自己的证明是准确无误的，之所以这样说，是希望这一点也能够得到人们广泛的认可。
受到万众瞩目、被人交口称赞，佩雷尔曼其实在生活中是极度厌恶这些的。但是涉及自己在数学上取得的成就，他却希望能够尽快地得到世人的理解和认同。
对田刚教授来说，作为一个成就了如此伟大证明的数学家，佩雷尔曼的这番话听起来有点太过谦虚了。在那之后将近 3 年的时间里，田刚教授都在致力于论文的核实工作。
4
破解世纪难题
2002 年到 2003 年，佩雷尔曼一共发表了 3 篇关于几何化猜想和庞加莱猜想的论文。这几篇也和他过去的论文一样，非常简洁但也非常难懂。田刚教授和约翰·摩根、布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特，以及中国的两名数学家，这六个人组成了世界上三个核实佩雷尔曼证明的团队。
约翰·摩根博士解释说，之所以每个团队都是由两名数学家构成的，是因为佩雷尔曼的论文涵盖了不止一个专业领域，内容非常宽泛。“田刚的研究方向是数学分析，而我则偏向于拓扑学。为跨越这两个领域中间的代沟，我们两人很自然地成为合作伙伴并组成了一个小组。擅长拓扑学的布鲁斯·克莱纳和微分几何学领域的约翰·洛特，也是基于同样的原因进行合作的。”
但是，在核实之前，光是想要顺利地将佩雷尔曼的证明读通，也是难度颇大的工作。他的遣词造句都极尽简洁，这本来没什么，但是关键就在他在论文中经常会自动省略那些他认为是“理所当然、不言自明”的解释部分。这就会令初次接触这篇论文的学者们，感觉整个证明的逻辑看起来非常跳跃。
摩根博士给我们举了个例子，在正文中可以频繁看到诸如“……根据简单的讨论，可知 A 成为 B……”的语句。但是一般来说，A 和 B 这两个概念，人们是很难把它们联系在一起思考的。那么佩雷尔曼又是根据什么理由把 A 和 B 联系在一起的呢？摩根博士他们只能是顺着佩雷尔曼的思维路径去探究了。
“利用现有的各种理论的组合，是很难理解佩雷尔曼提出的‘A成为 B’能够成立的逻辑的，这些思维在当时全都是非常创新的。不过，一旦你能够理解其中的逻辑的话，就会发现，在证明‘A 成为B’的过程中，这种逻辑思维方式是唯一的，你甚至想不出还有其他可能会存在的证明路径。当你认识到这一点的时候，也就能够确定，佩雷尔曼在论文中并不是故意省略了‘A 成为 B’的讨论部分，他是经过了非常严密的逻辑论证才得出这个结果的。”
摩根博士在一长段说明之后，继续说道：“在数学研究中，当你换个角度去看待一个问题时，就会发现过去看不清的那些东西在这个瞬间突然都变得很清晰，这才是数学中最美妙的瞬间。就像当你身处一片郁郁葱葱的森林时，如果你站到一个非常好的角度上，就能看到林中的树木都是按照一定规律整齐排列着的。而其他的角度看，不过是杂乱无序的一片茂密树林而已。数学研究也是类似的，从正确的角度去研究，就能马上很清晰地看到其结构。对我来说，佩雷尔曼的论文就存在许多个这样的角度。我好几次都不禁为之赞叹，他的论文实在太美妙了。”
摩根博士和田刚教授究竟在佩雷尔曼的证明中发现了什么样的美妙之处呢？现在就让我们追寻他们的足迹，进入佩雷尔曼给出的证明世界里一窥究竟吧。
瑟斯顿在 1981 年提出了“宇宙可以还原为 8 种标准几何结构”的猜想，但是他并没有给出具体的做法，即如何将错综复杂的宇宙一一分割为标准几何结构。宇宙整体的形状就好像是万花筒中变幻莫测的图像，我们可以猜想宇宙也是由像构成万花筒的“玻璃片”一样的最基本的标准结构碎片构成的，但是还没有弄清楚，实际操作中如何才能把这些基本的结构碎片的形状切割出来。
更严密的说法是，即使能够把宇宙整体随意地分割为若干个碎片，也无法判定这些碎片的形状。举例来说，把有着复杂形状的一块点心（宇宙）掰成许多个小块，但是掰下来的每一个点心的碎块（宇宙的基本结构碎片），其本身的形状也非常复杂，这些碎块的形状应该如何定义，也不是很明确。
理查德·汉密尔顿提出的里奇流方程式，则提供了如何将被分割的不规则的宇宙形状变成规则的形状的方法。
其含义是指“使某种变化因子加之于宇宙的形状，并使之经过时间（t），不规则形状的宇宙最终将变为规则的形状”。汉密尔顿还论述了里奇流方程式与物理学中的“热传导方程”在本质上是相同的。
该方程所表述的是以下这种物理现象。冬天我们在房间里点燃火炉的时候，刚开始仅仅是火炉周围温度上升，距离较远的地方仍然比较冷。经过一段时间以后整个房间才都变得温暖起来。这时如果把火炉熄灭，房间各处的温度将会逐渐趋同。也就是说，即使最初房间里各处的温度存在“凹凸”，但最后也会逐渐成为均质。
把热传导方程式中的“热量”置换为“形状”（曲率），就得出了里奇流方程。相应地，这个方程式表示的就是“凹凸的形状”在经过一段时间后将逐渐变为“规则的形状”。举例来说，用电烙铁加热一块锯齿状的焊锡，无论最初它的形状多么复杂，随着加热时间的持续，都会变成圆球形。还可以试想一下用吸管吹泡泡的情景，泡泡最初从吸管出来的时候是凹凸不平、松软多变的形状，但过一段时间之后，就一定会变成一个完美的球形。
大致上来说，里奇流方程的作用就是像这样把形状上的“凹凸”之处抹平，使其成为规则的形状。
那么是不是就可以认为，汉密尔顿利用里奇流方程式，就可以成功地将切割开的宇宙碎片的形状变为规则形状呢？实际上，这个理论中还存在一个致命的难点。那就是当使宇宙的形状像泡泡那样变化时，要控制变化的过程是非常不容易的，一不小心就可能导致形状崩塌。就像当泡泡的膜越来越薄时，就会在某个瞬间破裂一样。如果发生崩塌，那么宇宙的形状就会像泡泡一样消失，计算也就无法进行下去了。这种现象在数学中被称为“奇点的产生”。汉密尔顿的研究就卡在这里。
那么，佩雷尔曼又是怎样克服这个难点的呢？
众所周知，佩雷尔曼曾专注于 Alexandrov 空间的研究，是处理“奇点”方面的专家。他提出了一个前所未闻的思路，那就是在泡泡即将破裂的时候，使时间退回到过去。在他的计算中，即使让时间回溯到过去也没太大影响，这样的话宇宙就还没有崩塌，就可以分割为规则的形状了。
泡泡逐渐变薄最后终于破裂，这时我们可以把影像倒回到破裂之时，将这个破裂的点（奇点）无限扩大，然后再去想办法计算如何才能避免破裂……
佩雷尔曼导入了一个他取名为“L 函数”的新概念，他提出利用这个函数，可以使时间在过去和未来之间自由穿梭，这样就能够使计算毫无破绽地继续进行下去了。
“奇点”的研究过去曾经被认为是极端特例、毫无用处的领域，这个学科也被学者们揶揄为“下等数学”。现在却成为了解决世纪难题的关键。
庞加莱猜想被视为拓扑学（位相几何学）的象征，但是在证明的过程中，先是运用微分几何学的概念（几何化猜想）进行了部分的论证，接着又导入源自于物理学的概念（里奇流方程），最终这个难题才得以解决。核实论文的数学家们又是如何看待这个事实的呢？
“佩雷尔曼的论文有着令人难以置信的力量。要我说的话，他就像是一个一流的魔术师，可以把六七个颜色不同的球都抛到空中，还能分毫不差地轮流接住。这篇论文中，每一处的论述都需要极其复杂的考证，而且必须搞清楚这些论述的先后位置关系，才能理解论述背后的逻辑关系。
“佩雷尔曼的研究方向是众多俄罗斯数学家们都很擅长的Alexandrov 空间理论。但是这个理论属于微分几何学的范畴，和里奇流方程式没有多大关系。他回到俄罗斯的这 7 年间，应该一直都在研究汉密尔顿运用数学分析所做的研究工作。对这个领域的研究，再加上他对 100 年来拓扑学理论发展的了如指掌，这才产生了庞加莱猜想的证明。”约翰·摩根博士如是评价。
布鲁斯·克莱纳则关注证明中不同领域思维的运用：“在我看来，佩雷尔曼的解答和数学分析领域常见的偏微分方程式的思维有很大的关联。但是另一方面，几何学家们觉得这是几何学的思维方式。更不用说还有 Alexandrov 空间、比较几何学、极限操作的讨论等更多不同的解读了。
“而且，在论文的第七部分，佩雷尔曼更是引入了全新的概念L函数。这个概念甚至是可以追溯到物理学的某些理论的。”
在那次愉快的查尔斯河畔的散步过去整整两年之后，作为佩雷尔曼的好友，田刚教授终于能够确认，庞加莱猜想这个世纪难题，确实已经被佩雷尔曼解开了。
注1：导读中佩雷尔曼的引语来自《纽约客》在2006年8月的报道“Manifold Destiny”，作者Sylvia Nasar和David Gruber。
链接：https://www.newyorker.com/magazine/2006/08/28/manifold-destiny
BOOK TIME
《数学女孩6：庞加莱猜想》
[日]结城浩 著
陈朕疆 译
人民邮电出版社
2022年8月 出版
《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学之美的过程。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。《数学女孩6：庞加莱猜想》以百年数学难题“庞加莱猜想”为主题，从柯斯堡七桥问题入手，详细讲解了拓扑学、非欧几何、流形、微分方程、高斯绝妙定理和傅里叶展开式等数学知识，还原了庞加莱猜想的探索历程，带领读者一同追寻“宇宙的形状”。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。
