不一样的“兔子”---knn

商业哲学家 Jim Rohn 说过一句话，“你，就是你最常接触的五个人的平均。”那么，在分析一个人时，我们不妨观察和他最亲密的几个人。同理的，在判定一个未知事物时，可以观察离它最近的几个样本，这就是 kNN（k最近邻）的方法。

一、简介kNN还真是直接讲例子最好懂。大家都喜欢兔子，所以就来说一说兔子的事情吧。

有一种兔子叫作悲伤（Grief），它们的平均身高是 50 厘米，平均体重 5 公斤。我们拿来一百个悲伤，分别测量它们的身高和体重，画在坐标图上，用绿色方块表示。

还有一种兔子呢，叫作痛苦（Agony）。它们体型比较小，平均身高是 30 厘米，平均体重是 4 公斤。我们将一百个痛苦的身高和体重画在同一个坐标图上，用蓝色三角表示。

最后一种兔子叫绝望（Despair）。它们的平均身高45厘米，但体重较轻，平均只有2.5公斤。一百只绝望的数据用黄色圆圈表示。

在这些数据中，(身高,体重) 的二元组叫做特征（features），兔子的品种则是分类标签（class label）。我们想解决的问题是，给定一个未知分类的新样本的所有特征，通过已知数据来判断它的类别。

北京十八环外有一个小树林里经常出现这三种兔子。为了了解它们的生态环境，某研究团队想知道三种兔子的数量比例；可是这些兔子又太过危险，不能让人亲自去做，所以要设计一个全自动的机器人，让它自己去树林里识别它遇到的每一个兔子的种类。啊，为了把故事讲圆，还要假设他们经费不足，所以机器只有测量兔子的身高和体重的能力。

那么现在有一迷之兔子，我们想判断它的类别，要怎么做呢？按照最普通的直觉，应该在已知数据里找出几个和我们想探究的兔子最相似的几个点，然后看看那些兔子都是什么个情况；如果它们当中大多数都属于某一类别，那么迷之兔子大概率也就是那个类别了。

于是乎，我们给机器人预设一个整数 k，让它去寻找距离最近的k个数据样本进行分析。好，机器发现了一只兔子，它长着八条腿，三十二只眼睛，毛茸茸的小尾巴，齐刷刷的八十六颗獠牙，面相狰狞，散发着噩梦般的腐臭，发出来自地狱底处的咆哮… 差不多就是这个样子（作者手绘）：

可我们的机器才识别不了那么多，它只测量出这只兔子身长 40 厘米，体重 2.7 公斤，就是下面图中那颗闪闪发亮的红星。

kNN算法如何对这次观测进行分类要取决于k的大小。直觉告诉我们迷之兔像是一只绝望，因为除了最近的蓝色三角外，附近其他都是黄色圆圈。的确，如果设 k=15，算法会判断这只兔子是一只绝望。但是如果设 k=1，那么由于距离最近的是蓝色三角，会判断迷之兔子是一只痛苦。

如果按照15NN和1NN的方法对这个二维空间上的每一个点进行分类，会形成以下的分割。

在两组分类中，1NN 的分类边界明显更“崎岖”，但是对历史样本没有误判；而 15NN 的分类边界更平滑，但是对历史样本有发生误判的现象。选择k的大小取决于对偏差和方差之间的权衡，本篇不进行更深探讨，读者在使用 kNN 时凭感觉选一个 k 就好。

二、距离函数

我们在上面的例子中把一个很重要的概念隐藏了起来，在选择一个数量k还只是小问题，更重要的是距离的计算方法。毕竟，当我们说“最近的k个点”时，这个“近”是怎么衡量的？

在数学中，一个空间上距离的严格定义如下：

设 MM 为一个空间，MM 上的一个距离函数是一个函数 d:M×M→R，满足

∙d(x,y)≥0 ∀x,y∈M

∙d(x,y)=0⟺x=y

∙d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈M

∙d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈M

两个点 x,y 之间的距离就是 d(x,y)。

我们一般最常用的距离函数是欧氏距离，也称作 L2 距离。如果 x=(x1,x2,…,xn) 和 y=(y1,y2,…,yn) 是 nn 维欧式空间 Rn 上的两个点，那它们之间的 L2 距离是

L2 是更普遍的 Lp 距离在 p=2 时的特列。Lp 距离的函数dp 定义如下：对于 1≤p，有

还有 L∞ 距离

在实际应用中，距离函数的选择应该根据数据的特性和分析的需要而定，本篇就不进行更深入的探讨，一般情况下使用最常用的 L2 函数即可。

但是！注意！使用 kNN 时需要根据特征数据的取值区间来调整坐标轴的比例，这个做法叫作标准化或者归一化。为什么要这么做呢？拿上面的例子来说，一只兔子的身长（cm）数值平均是它的体重（kg）的 10 倍左右，如果我们在这组数值上直接使用 L2 距离函数的话就会导致横轴的距离比重明显放大，分类结果也不合理，如下图所示

如果把坐标轴成其他的单位，比如毫米和吨，并用相应的新数值来计算距离，又会得到完全不同的分类标准。甚至，在极端情况下，如果身高用纳米并且体重用吨计量，那么相比之下身高的数值会奇高无比，以至于两点之间的距离是完全由身高决定的，体重则没有任何权重。为了解决这个问题，我们应该在计算距离时把所有坐标轴进行归一化。

在之前的例子中，由于横轴数值大约是竖轴的 10 倍左右，所以我们将横轴（身高）的数值压缩 10 倍，即计算距离时使用

就可以得出合理的 kNN 分类。

一般来说，假设进行 kNN 分类使用的样本的特征是

取每一轴上的最大值减最小值

并且在计算距离时将每一个坐标轴除以相应的 Mj 以进行归一化，即

便可以规避坐标轴比例失衡的问题。

三、概率kNN

上面的kNN算法返回的是对一组特征的绝对分类，告诉我们这只兔子被判断为哪一个类别。可有时我们并不想知道一个确切地分类，而想知道它属于某个分类的概率是多大。比如我们发现一只身长 37 体重 4.8 的小兔兔，在下图五角星的位置。

这只兔子的特征数据在悲伤和痛苦的分界处，机器不论判断它属于哪个类别都很有可能是错的。这时，类似“它有一半可能性是痛苦，一半可能性是悲伤”的反馈会更有意义。

为了这个目的，我们同样找找出距离问题特征最近的 k 个样本，但与其寻找数量最多的分类，我们统计其中每个类别的分别有多少个，再除以 kk 得到一个属于每一个类别概率值。比如在上面的图里，距离五角星最近的 15 个样本中，有 8 只悲伤和 7 只痛苦，由此判断：它有 53% 的可能性是悲伤，47% 的可能性是痛苦，0%的可能性是绝望。

在整个二维空间中的每一个点上进行概率 kNN算法，可以得到每个特征点是属于某个类别的概率热力图，图中颜色越深代表概率越大

相比于绝对的分类，这些概率的计算会给我们更有效的表述以及更多的应用空间。比如说，我们知道悲伤兔子喜欢向我们的机器人上喷洒奇怪的粘液，毫无作用毫无意义的绿色的粘液，就像这样（作者手绘）：

倒不是因为别的，我们就是觉得这种粘液很恶心，清洗起来也很麻烦，所以我们想让机器人在测量并发现是悲伤之后马上掉头逃跑。但是如果机器发现了一只体型接近痛苦的悲伤，并且普通的 kNN算法发生误判，没有马上逃跑，那么最后就会被喷了。所以我们使用概率 kNN 的算法并且使用以下风控原则：只要发现兔子有 30% 以上的概率是悲伤，就马上逃跑。从此之后，机器人就再也没被喷过了。

结语

不知你有没有发现，我跟你讲了这么多关于兔子的事，却丝毫没有提及如何用代码计算 kNN。这是因为 kNN 虽然思路简单，但实现起来有一个问题，那就是计算量很大；当数据量很多时，拿一组特征来和所有样本依次计算距离并选取最近的 k 个，是非常耗费时间的。