从近视宅男买早餐到彭罗斯逆矩阵（2）逆矩阵

来源：返朴

不少同学在初学线性代数时感到迷茫、痛苦，体会不到课程的实际意义。这很大程度上是因为，教材为了由浅入深、循序渐进，须从基础的抽象概念讲起，而真正直观的部分，往往要等到后面的细分领域或具体应用。于是初学者往往知其然，不知其所以然；只见树木，不见森林。希望本文能让你换个视角，以轻松有趣的日常眼光，看到一个不一样的线性代数。

本文是系列文章《N文粗通线性代数》的第二篇，通过矩阵初等变换来引入矩阵的逆及其性质。主要思路是：消元法求解线性方程组→线性方程组的初等变换→矩阵的初等行（列）变换→化矩阵为“标准形”，从而可以轻易地写出解。

撰文 | 吴进远

上回书说到，某近视宅男，某日下楼到早点铺买早餐。眼镜忘在家里，看不清黑板上写的价目。于是，宅男就一边排队，一边听着前边顾客买早点的品种数量，和服务员小妹报的总价，据此计算各种早点品种的单价。

为了方便读者理解，我们把几位顾客的购买数据列成下面一个表：

（1）（可逆）矩阵乘法的逆运算

说了半天，该我们的近视宅男登场了。

他需要根据排队时听到的交易数据，算出每一种食品的单价。这就是说，他要求出一组多元一次方程的解。

这样一个方程组，也可以写成矩阵的形式，只不过，现在每一种食品的单价是未知数。

换句话说，他要做（可逆）矩阵乘法的逆运算。

（2）单位矩阵

一般而言，做逆运算比做正向的运算要难，（可逆）矩阵的逆运算也不例外。不过我们可以通过我们的直觉与经验，获得一些启发。

比如赶巧了，前面三个顾客：

第一位买了一个油饼，“3元”——服务员小妹报价；

第二位买了一个茶叶蛋，“4元”；

第三位买了一碗豆腐脑，“7元”。

这样一来，我们不费吹灰之力就知道了三种食品的单价。用矩阵乘法写出来，就是：

这种左上到右下对角线元素为1，其他非对角线元素都为0的矩阵，叫做单位矩阵，有时也称恒等矩阵。单位矩阵通常用字母 I 表示，也有教科书或文献用E或者U表示的。单位矩阵与任何其他矩阵相乘，结果与原矩阵相等。就像用1乘以任意实数，结果都与原数相同。

（3）对角矩阵

像上面这么巧的事很难碰上，我们可以将条件放宽一些，每个顾客不限定必须买一份食品。

比如一个顾客买了3个茶叶蛋，花了12元，等等。

这种情况也难不倒我们，只要做简单的除法，就能算出茶叶蛋的单价。

这种情形对应的矩阵叫对角矩阵，其中只有对角元素不是0，其他非对角元素都是0。前面谈到的单位矩阵是对角矩阵的特殊情况。

（4）上三角矩阵

实际上，对角矩阵这种情形需要三位顾客都只购买一种食品，这个条件仍然太苛刻。我们可以把条件进一步放宽：设想一位顾客购买了一种食品，另一位购买了两种，再一位购买了三种。

比如，第三位只买了豆腐脑，

第二位买了茶叶蛋和豆腐脑，

而第一位买了所有三种食品。

写成矩阵乘法，就会呈现下面这个样子：

这个矩阵叫上三角矩阵，它只有对角线以及上部元素可能不是0，而下部的非对角元素都是0。在这个情形下，想计算各个食品的单价也很容易。

从第三笔交易，我们用一次除法，就可以算出豆腐脑的单价。

再看第二笔交易，既然豆腐脑的单价知道了，茶叶蛋的单价也不难算出来。

接着看第一笔交易，虽然顾客买了所有三种食品，但其中两种的单价已经算出来了，因而只剩下一个未知数，也很容易算出来。

（5）消元法

不过，理想丰满现实骨感，在一般的情况下，我们可能碰不到这些容易计算的情况。

因此，我们需要把一般的交易，通过某种运算，变换成上面谈到的这些容易计算的情形，最终得到未知数的解。

比如我们开头谈到前三位顾客实际的交易，构成了三个三元一次方程。一次方程有时也叫线性方程。

我们的任务，是通过解这个线性方程组，求出它的三个未知数。

根据前面的提示，在求解中，我们应该尽量把非对角的元素，也就是方程组中左边非对角的系数变成0。

我们中学里学过解线性方程组的消元法，就是把一个方程左右两边，同时加减另一个方程的某个倍数，就可以把其中一个未知数的系数消成0。

比如：(2)-2*(1) ，(3)-3*(1)，就可以把第二、第三两个方程的第一个系数消掉

我们再回过头去看一下宅男思考的那张图，就能慢慢体会其中思路。

注意他把第二行和第三行原来的黑字划掉，写上了对应的蓝字，就反映了这样一个计算过程。

进一步，通过 (3')-(2')，就可以把第三个方程中的第二个系数消掉（对应于图中第三行划掉蓝字，写上紫字）：

到了这一步，方程组的系数构成一个上三角矩阵。由此，我们就可以一步步地把所有未知数算出来了。比如由（3"）我们可以算出 x3 = 7，然后利用（2"）算出 x2 等等。这个计算过程如果凭空干算，那的确需要学霸级别的心算能力。但如果有草稿纸，普通同学也能算出来。

这种消元的过程，可以看成是根据已知顾客的交易数据，组合出一些虚拟顾客的虚拟交易，以方便我们算出各个食品的单价。

（6）线性组合与线性相关

以上运算是把方程组中的系数拿来乘以一定的倍数再互相加减，我们通常把这种运算叫线性变换。得出的结果叫原来方程的线性组合。而这样得到的新方程与原来的方程组线性相关。过去有句话叫“线性相关，真是一关”。现在我们打怪升级，算是过了这一关的一小半。

线性组合是矩阵乘法的拿手好戏，像我们前面说的消元运算，可以很简单地写成矩阵的乘法。

我们把线性方程组(1) (2) (3)等号两边的系数拼在一起，构成一个增广矩阵：(A|y)。

然后用一个矩阵P1从左边去乘这个增广矩阵，得到的乘积为(A'|y')。

P1的第一行是(1 0 0)，表示(A'|y')的第一行就是(A|y)的第一行。

注意这种用左边的向量去乘右边矩阵的操作中，我们是把左边每一横行的元素，竖起来与右边矩阵各个列的元素分别相乘并累加的。

P1的第二行是(-2 1 0)，表示(A'|y')的第二行等于(A|y)的第二行减去第一行的2倍。

P1的第三行是(-3 0 1)，表示(A'|y')的第三行等于(A|y)的第三行减去第一行的3倍。

经过这样一番操作之后，我们可以看出，(A'|y')实际上就是方程组(1') (2') (3')的增广矩阵，其中两个元素被消成了0。

为了把第三行第二列的元素也消成0，我们在P1这个操作的基础上，再引入另一个操作P2。

这里，P2对方程组的第一、第二行没有做任何变换，仅仅是从第三行中减去了第二行。至此，我们将方程组的系数矩阵，变换成了上三角矩阵。

不难想象，我们可以进一步做类似的操作，将上三角矩阵上部非对角元素也消成0，从而得到一个对角矩阵。然后从对角矩阵，对每一行简单地乘以（或除以）一个常数，把对角线元素都变成1，从而得到单位矩阵I。这些操作，也可以写成类似的矩阵，我们用P5，P4，P3等表示。

于是，我们就有：

(P5 P4P3P2P1)A = I。

把 (P5P4P3P2P1) 乘在一起，合并成一个矩阵

B=(P5P4P3P2P1)，

我们得到：BA = I。

（7）逆矩阵

类似B这种矩阵，它和A相乘，得到单位矩阵I。我们把B称为A的逆矩阵。很多书籍和文献把A的逆矩阵写成A-1，也就是说

A-1A = I。

不过，这里提醒读者不要把这个-1的上标与倒数或-1次方混淆，逆矩阵不是通过简单的除法算出来的。

逆矩阵只有正方矩阵可能有。这意味着要求出N个未知数，必须有N个方程，或者说N个约束条件。方程（约束条件）多于或少于未知数个数都会给我们的求解运算带来一些麻烦，我们后面会谈到。

不过，并不是所有方阵都有逆矩阵，大家也许学到过，只有满秩的方阵有逆矩阵。方阵满秩等价于它的行列式不等于0。

（8）计算机求解矩阵的逆

近视宅男计算食品单价的过程，实际上是求解线性方程组的过程。而求解线性方程组的过程，可以看成是求解A的逆矩阵的过程。

前面介绍的算法听起来挺麻烦，但现在有了计算机，编好程序让计算机算就非常方便。大家从网上可以搜到很多矩阵求逆的在线计算器，除了算出结果，还可以帮助我们理解计算的过程。作者没有近视宅男那么强的心算能力，于是用网上的在线矩阵求逆计算器试验了一下，结果如下图所示。

在上面的计算过程中大家可以看到，计算开始时，程序在原矩阵右边贴了一个单位矩阵，二者组成一个增广矩阵。通过消元，把左边变成单位矩阵，于是右边就成了原始矩阵的逆矩阵。

最后的结果是：

类似的运算，有些书上叫高斯消去法，但实际上，这种运算方法并不是高斯首创。在高斯之前，牛顿就已经使用类似的方法了。那么这个方法是不是牛顿发明的呢？好像也没有看到有科学史文献提及是他发明的。我最近在一本教科书Basic Linear Algebra(作者是苏格兰教授T.S. Blyth和E.F. Robertson) 上看到，有一本书“The Nine Chapters on the Mathematical Art”上，就有这样的消元法。我顺着这个线索查了一下，这本书叫《九章算术》，里面确实有。

在人类智力活动中，类似的例子非常多。前人做出某个成果，后人没有读过文献，于是又重新发现一次。就以我自己为例吧，我自己早年就有过一个发明，重复了整整100年前前人的发明。更有意思的是，我过了30多年才知道，前人已经在130多年前做出了这个发明。

（8）逆矩阵的一些性质

一个满秩的方阵A和它的逆矩阵B之间有很多很有用的性质。

比如

AB=I，

而且

BA=I。

你可能觉得，这有什么可大惊小怪的，就像：

2×0.5=0.5×2=1，

可是问题没有那么简单。一般来说，矩阵乘法是不符合交换律的，只有在一些特殊的情况下，才会有像这样可以交换的情形。

我们这里不做严格的证明，仅仅用买早餐这个事来说明一下这两个关系式是什么意思。我们仍然假设早餐店卖三种食品，三个顾客购买品种的向量互相线性无关，因此购物矩阵A是一个3×3的满秩矩阵。根据这个矩阵A，近视宅男可以算出一个逆矩阵B。

对于任意的一组价格 x，服务员小妹都可以算出三位顾客的购物金额：

y = Ax。

而反过来，近视宅男可以根据前面三位顾客的购物金额 y，反过来算出三种食品的价格：

x = By。

因此：x = B(Ax) = (BA)x。由于这个关系式对任意的价格向量都成立，我们可以证明 BA = I（这里略去500字证明过程）。

反过来，对于任意的一组购物金额 y，近视宅男都可以算出三种食品的价格：

x = By。

而服务员小妹则可以根据三种食品的价格 x，算出三位顾客的购物金额：

y = Ax。

因此：y = A(By) = (AB)y。由于这个关系式对任意的购物金额向量y都成立，我们可以证明 AB = I（这里略去500字证明过程）。

从 AB = I 出发，如果在等式两边从左边乘上一个 B，我们会得到：

BAB = B。

同样，在等式两边从右边乘以一个 A，可以得到：

ABA = A。

像这样形状的两个关系式，我们今后会多次看到。这里提醒读者注意，ABA = A 和 BAB = B 这两个关系式与 AB = I和 BA = I 不是等价的。我们只能从 AB = I 或 BA = I 推出 ABA = A 和 BAB = B。但反过来不行。比如，你不能从 ABA = A，两边“划掉”一个A，得到 AB = I。

（9）左逆矩阵与右逆矩阵

对于一个矩阵A，假如另一个矩阵B从左边与它相乘而得到单位矩阵，也就是说：

BA=I，

则矩阵B是A的左逆矩阵。

而如果从右边乘，得到单位矩阵：

AB=I，

则B是A的右逆矩阵。

对于满秩方阵，它的逆矩阵既是左逆，也是右逆。但在一般的情况下，比如不是方阵，一个矩阵可能只有左逆或者只有右逆。

为了方便读者理解，我们把几位顾客的购买数据重新列在下表：

我们这个早餐店卖三种食品，表中有四个顾客。对于给定的单价向量x，根据每位顾客购买数目，服务员小妹可以算出四位顾客购物总价组成的向量y。写成矩阵是：

y = Sx 。

这里顾客购买数目组成的矩阵S有3列4行，它是一个“瘦高”的矩阵。为了方便读者注意到这是一个瘦高矩阵，我们特意用S这个拼音字母来代表它。

当这个矩阵是列满秩的时候，它存在一个左逆矩阵P。利用这个左逆矩阵，近视宅男可以根据顾客购物总额向量y，反算出单价向量x，即：

x = Py。

这个左逆矩阵P有4列3行，它是一个“矮胖”的矩阵。为了方便读者注意到这是一个胖矩阵，我们特意用P这个字母来代表它。

对于任意价格向量x，服务员小妹算出顾客购物总额 Sx，然后近视宅男可以反向算出价格向量：

x = P (Sx)。

因此 P 这个操作可以逆转抵消 S 这个操作，我们可以证明：

PS = I，

P是S的左逆。通常情况下左逆 P 可能不是唯一的，我们可能会根据其他条件从许许多多左逆中挑一个。

另外，左逆不一定同时是右逆，对于任意顾客购物总额向量 y1，近视宅男确实可以算出一个价格向量，x1 = Py1，但这个价格与真实的价格可能完全不同，服务员小妹确实也可以根据这个价格算出顾客购物总额 y2 = Sx1，但它可能和开始给的 y1 不同，因此 S 这个操作不一定能逆转抵消 P 的作用，因此 SP 不一定等于 I。