作者：杨贇彤1，2，罗洪刚1，2
1 兰州大学物理科学与技术学院和兰州理论物理中心
2 量子理论与应用基础教育部重点实验室和甘肃省理论物理重点实验室
摘要
相变是凝聚态和统计物理研究的主旋律之一。我们以相变名称为粗线条，简要评述经典（热力学）相变、量子相变、动力学（非平衡）相变以及拓扑相变的研究现状，并分析其中面临的困难。笔者试图说明，困难的根源可能来自于未被充分意识到（或意识到但并未明确指出）的逻辑上的问题：临界现象是相变的结果，相变发生了，有的表现出临界现象，但也有的没有表现出（如拓扑相变），从结果出发去理解原因，“盲人摸象”不可避免。我们试图从图案（pattern）角度，以一维各向异性量子XY模型为例，指出相变可能的内在统一机制。
一、 相变的种类
相，是物质存在的形态。大家熟悉的例子如水，可以以气体、液体和固体形态存在。物质所呈现的形态以及它们之间的转变（即相变）是凝聚态和统计物理研究的主旋律之一。我们对相变的认识，最早能追溯到1822年，法国科学家德拉图（Charles Cagniard de la Tour, 1777-1859）在加热帕潘热压蒸锅实验中对拍溅水声变化的观察，后来认识到这就是典型的临界现象。关于经典（热力学）相变研究的简要历史回顾，有兴趣的读者可参阅笔者先前的公众号文章[1]，不在此赘述。对相变的研究，内容广泛，现象丰富，文献浩如烟海，以笔者的学识，难以一一厘清。所以，我们还是“望文生义”，以相变的名称为粗线条，对相变做一个大致的分类，并一一陈述 [这儿的分类，不是通常保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）意义上，或更精细地根据临界指数的分类]。这些相变包括经典（热力学）相变、量子相变、动力学（非平衡）相变以及拓扑相变。
经典相变，或热力学相变，是我们最熟悉的，也是最早研究、认识最深入的相变，任何关于热力学和统计物理的教科书都有关于热力学相变较详细的介绍。这儿我们主要陈述它提供的、研究相变的传统范式，即金兹堡-朗道-威尔逊范式：1）确认系统随温度变化有相变，能确认临界点，并伴随临界现象；2）唯象定义序参量，并指认相应的对称性及变化；3）通过重正化群分析或其它方式，计算各种可观测物理量如序参量、关联函数等的临界指数，进而确认相变的普适类。在这类相变的研究中，最自然，也是大家最熟悉的是所谓的连续相变（按朗道的唯象理论，二级及二级以上的相变称为连续相变，此处序参量从零到非零是连续变化的）。对一级相变，序参量在临界点有不连续的跳变，即从零到非零是不连续的，则出现不确定因素，导致混合阶（mixed-order）概念。原因是，从一些性质看，相变是一级的，而另外一些物理量则表现为二级或更高级性质。无论如何，该范式仍然是目前对相变的理论研究采取的标准做法，并应用到各种情况，正如下面要讨论的。
量子相变，是指在在极低温或零温极限意义下，由量子涨落驱动的相变。对这类相变，热力学涨落已经不重要或消失了，相变是通过改变其它参数如电磁场、掺杂、压强、化学势等而发生。量子涨落可以用玻恩-海森堡不确定性关系表述，但其根源仍然不清楚，一般归结为真空涨落。有一点是可以确认的，即量子涨落具有动力学本质。量子相变的研究历史不长，最早是在1976年，赫尔茨（John A. Hertz）以“量子临界现象”为题，将威尔逊的重正化群思想应用到零温相变的研究中，打开了量子相变研究的大门。考虑量子涨落的动力学本质，与热力学相变比较，增加了动力学临界指数，并对金兹堡-朗道-威尔逊范式所使用的序参量泛函形式进行修订，得到处理量子相变问题的一般范式。这个范式，与研究热力学相变的范式一脉相承。萨克德夫（Subir Sachdev）撰写的《量子相变》一书[2]，对量子相变有一个全面系统的介绍。
动力学相变，也称为非平衡相变，是研究系统在非平衡演化过程中出现的稳态（或亚稳态，可以定义为相）之间的转变。没有例外，热力学相变和量子相变所依赖的物理量均是静态的（static），比如等时关联函数所描述的。而动力学相变研究的物理量均是随时间变化，如含时微扰、多时关联函数、弛豫率、输运等现象。与热力学（平衡态）相变研究一脉相承，从动力学临界现象入手，仍然是开展动力学相变研究的标准范式。这个从动力学相变的早期研究可见一斑，见P. C. Hohenberg 和 B. I. Halperin在1977年的综述文章[3]。普适类和标度行为仍然是动力学相变研究的主题。通过淬火或退火研究相变的动力学机制，也是近二、三十年相变研究的热点，如Kibble-Zurek机制[4]。
拓扑相变，在相变研究领域中，属于另类，因为它不能纳入到金兹堡-朗道-威尔逊的相变研究范式中。在与拓扑相关的相变研究中，人们找不到序参量及相关的对称性这个关键抓手。怎么办呢？超越金兹堡-朗道-威尔逊范式，另起炉灶，但至今这个“炉灶”仍然没有成型。尽管如此，从近五十年来工作的积累，仍然可以窥见大致的努力方向。
拓扑是数学概念，最早是研究三维物体整体几何性质的数学分支。典型的例子是，一个三维球和一个甜面圈被认为是拓扑上不等价的物体，因为三维球表面没有洞，而甜面圈有一个洞，不能通过连续形变让二者相互转换，因为它们的拓扑数（这儿就是洞的数量）不同。这是谈的拓扑，是物体的静态几何性质。
拓扑概念直接应用到物理上，最早应该是英国物理学家狄拉克（P. A. M. Dirac, 1902-1984）在1931年研究磁单极时引入的。磁单极具有拓扑数（荷），可由围绕这个荷的磁场性质决定。这个概念与几何物体的静态拓扑性质不同，它是通过某种物质在动力学驱动下形成的环流性质来刻画物质的形态，比如斯托克斯环流公式所表述的（电动力学中麦克斯韦方程组中磁场相关部分）。拓扑概念在物理中的大部分应用，本质上均如此，如拓扑相位、拓扑激发、拓扑流等。当然，物质所在的空间有拓扑非平凡的结构，对系统的拓扑行为也有影响。
涉及到拓扑相变，最早是上世纪七十年代初，以三位物理学家命名的Berezinskii-Kosterlitz-Thouless （BKT）相变。事实上，Mermin 和 Wagner在1966年证明，一维或二维海森堡模型在任何有限温度没有长程序，因此在一维或二维系统不会有相变发生[5]。 但B-K-T这三位物理学家在研究二维经典XY自旋模型的热力学相变问题时，发现这类系统有拓扑激发，即涡旋。在低温，涡旋和反涡旋会形成涡旋对，是束缚态。在高温，涡旋对由于热力学涨落被拆开，形成单个的拓扑激发。这种由拓扑激发驱动的相变，没有序参量和相关的对称性破缺，被认为是一种新的相变，相关工作是2016年诺贝尔物理学奖的重要组成部分[6]。
1980年冯·克利青（Klaus Von Klitzing）在实验上发现量子霍尔效应（获得1985年诺贝尔物理学奖），一石激起千层浪，为拓扑相变的研究热潮提供了契机。理论上，以索利斯（David J. Thouless, 1934-2019）为第一作者的研究团队发现量子霍尔效应背后的拓扑物理[7]。2005年，Kane 和Mele发现时间反演对称性保护的拓扑性质[8]，并掀起了拓扑绝缘体研究的热潮，至今方兴未艾。由于材料或现象的复杂性，拓扑的概念也被进一步拓展，例如拓扑序概念。原始的、以几何性质为背景的拓扑概念，文小刚称为经典拓扑；而以量子多体波函数为背景的拓扑序，其拓扑的微观起源是长程量子纠缠，文小刚称其为量子拓扑。本文后面的讨论，不涉及量子拓扑概念。有兴趣的读者可参考相关综述文章[9]。
二、 相变研究的问题
从上面关于已知相变种类的粗线条描述，除了提到热力学相变中一级相变的理解略显不足，其它的似乎没有什么问题：金兹堡-朗道-威尔逊相变范式可以在很大程度上对热力学相变、量子相变和动力学相变提供较为系统的描述（普适类和标度行为）。而拓扑相变，完全不同于前面三类相变，需要建立新的范式，只是目前仍然没有完成而已。但仔细思考，事情并没有这么简单，有很多问题需要进一步理解，但现实情况是：大部分学者着眼于临界现象的描述和标度行为分析，然后对相变进行分类。但我们希望提到一些需要认真对待的问题。第一，序参量概念仍然保持唯象本质，而且是静态的（static），即使量子相变，也是如此（尽管量子相变本质上是动力学的）。序参量的微观机制是什么？在低维，比如二维，系统通常没有长程序，而只是准长程序。物理上，把准长程序归因于量子涨落。但量子涨落如何破坏长程序的，并不知道。这是把拓扑相变归入一类新的相变，要另起炉灶进行研究的根本原因。第二，即便序参量有明确定义的系统，相变或相图的确认仍然面临众多的不一致或矛盾。典型的例子是一维横场反铁磁伊辛模型中相变的混合阶（mixed-order）概念、一维单轴次近邻横场伊辛（近邻铁磁与次近邻反铁磁竞争）模型的相图问题等这样简单但基本的问题，仍然没有很好的理解[10，11]。第三，不同的相变，有不同的驱动因素，如热涨落、量子涨落、拓扑激发以及时间相关的扰动。热涨落和时间相关的扰动，有直观的物理图像，但量子涨落与拓扑激发则隐晦的多。一个典型的例子是一维横场伊辛模型和一维横场XY模型均有量子涨落，但为什么一维横场伊辛模型没有拓扑激发，而一维横场XY模型有拓扑激发，二者的本质区别是什么？
以上的问题，有一个共同的角度（或逻辑）上的根源：临界现象与相变的关系。临界现象是相变的结果。有临界现象，一定有相变的发生，反之，则不一定成立，即有相变发生，但不一定有临界现象。所以，从结果出发去研究原因，逻辑上本身是有缺陷的，“盲人摸象”不可避免。这正是目前相变研究可能存在的最大问题，在使用工具及结果描述上方法不一样，导致结论不一致或矛盾。这儿我们愿意再次强调威尔逊1982年诺贝尔物理学奖的关键信息：该奖项的贡献是“因为他的与相变联系的临界现象理论”（“for his theory for critical phenomena in connection with phase transitions”）。特别是，在诺贝尔奖颁奖辞中，提到“威尔逊的临界现象理论给出了一个临界点附近行为完整的理论描述，并给出了数值计算关键物理量的方法”（“Wilson’s theory for critical phenomena gave a complete theoretical descriptionof the behaviour close to the critical point and gave also methods to calculate numerically the crucial quantities. ”）[12]。显然，威尔逊的贡献是关于临界现象的理论，而不是关于相变本身的理论。2016年诺贝尔物理学奖颁奖给索利斯（David J. Thouless, 1934-2019）、霍尔丹（F. Duncan M. Haldane）、科斯德里茨（J. Michael Kosterlitz），以奖励他们的 “拓扑相变和物质的拓扑相的理论发现”（“for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter”）[6]。这两项与相变相关的奖项都没有涉及到相变机理的研究，只是在物质结构层次上提供了深刻的洞见或发现超越朗道范式的新相变。
三、 相变内在统一机制初探
目前我们仅限于零温和平衡态情况，所以直接相关的是量子相变和拓扑相变。我们取一维各向异性横场XY模型作为讨论对象，并与一维横场伊辛模型进行比较。引进各向异性参数，当时，XY模型恢复到横场伊辛模型；当时，就是面内各向同性的XY模型。下面的结果通过这两个极限的比较研究，得到我们的结论。
通过格点自旋算符空间的对角化，得到图案（pattern）。对横场XY模型，有两个图案扮演重要作用，一个是图案，另一个是图案, （×，×）表示的系数的正负号。这两个图案，相同的是格点间都是同相（in-phase），都具有铁磁性特征。不同的是，格点内部一个是同相，一个是反相（out-of-phase），它们的本征能量随交换耦合参数（相互作用）变化不一样。在横场伊辛模型，随着相互作用强度的增加，只有图案起到支配角色，而其它的图案扮演很次要的角色。在横场XY模型，除了图案，另一个图案随相互作用增强，也开始变得重要，与有可比较的占据。这样，在XY模型中，基态包含两个指向完全相反的涡旋（涡旋-反涡旋），而且，它们有相当的图案占据，这是一维横场XY模型有拓扑特征的起源。这也是与横场伊辛模型有本质区别的地方，导致横场伊辛模型只有一个顺磁-铁磁的相变。但横场XY模型，除了顺磁-铁磁相变以外，系统在进入铁磁相后还有不同数目的涡旋-反涡旋对的拓扑相变，在小或，顺磁-铁磁相变被拓扑相变淹没，系统直接从顺磁相进入具有拓扑特征的铁磁相。细节可参阅预印本文章[13]。
从以上讨论表明，量子相变和拓扑相变并不需要独立描述，它们完全可以纳入到同一个图案图像进行研究。而且，每个图案都是系统的整体性质，因此能够反映系统的拓扑属性。所不同的是表征系统不同状态（每个格点的自旋指向和它的运动信息）的图案在系统的基态中贡献权重。在横场伊辛模型，只有一个图案占支配角色，而在横场XY模型，则有两个拓扑性质相反的图案贡献相当的角色，导致我们看到完全不同的基态性质。这些结果仍然是初步的，进一步的相关物理量的定量计算仍然需要完善，但定性结果已经能够支持上面的结论。
我们还是用《西游记》主题曲“敢问路在何方”结束本文。“敢问路在何方？路在脚下”。
致谢：感谢黄亮，董家奇和周宗胜阅读全文并提出修改建议。相关工作得到国家重大研究计划（合同号：2022YFA1402704）和国家自然科学基金（合同号：11834005、12047501、12247101）资助。特别感谢基金委理论物理专款对“兰州大学理论物理交流平台”（2010-2020）和“兰州理论物理中心”（2021-）的支持和甘肃省科技厅对“甘肃省理论物理重点实验室”的支持。
参考文献
[1] 杨贇彤，罗洪刚，“量子多体系统的困境及相变问题”，兰州理论物理中心， 2023-01-30.
[2] S. Sachdev, Quantum phase transitions, second ed. (Cambridge University Press, Cambridge, 2011).
[3] P. C. Hohenberg, B. I. Halperin, Theoryof dynamic critical phenomena, Rev. Mod. Phys. 49, 435 (1977).
[4] W. Zurek, Cosmological experiments in condensed matter systems, Phys. Rep. 276, 177 (1996).
[5] N. D. Mermin and H. Wagner, Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models, Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966)
[6] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2016/prize-announcement
[7] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. Den Nijs, Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).
[8] C. L. Kane and E. J. Mele, Z2 topological order and the quantum spin Hall effect, Phys. Rev. Lett. 95, 146802 (2005).
[9] X.-G. Wen, Colloquium: Zoo of quantum-topological phases of matter, Rev. Mod. Phys. 89, 041004 (2017).
[10] Y.-T. Yang and H.-G. Luo, Pattern description of quantum phase transitions in the transverse antiferromagnetic Ising model with a longitudinal field, arXiv:2301.05040 (2023).
[11] Y.-T. Yang and H.-G. Luo, Pattern description of the ground state properties of the one-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising model in a transverse field, arXiv:2301.08891 (2023).
[12] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1982/press-release/
[13] Y.-T. Yang and H.-G. Luo, Topological or not? A unified pattern description in the one-dimensional anisotropic quantum XY model with a transverse field, arXiv:2302.13866 (2023).
