典型债券计算器对末期现金流处理方式的差异性及影响分析

内容提要

中国人民银行发布的债券计算公式规定了全价和到期日收益率（YTM）之间的互算公式和各相关元素的解释。但市场参与方对部分参数理解的偏差导致当前典型债券计算器对全价的计算结果存在差异，这种理解的偏差突出体现在对末期现金流的处理方式上。本文通过案例分析和理论推导，分析了差异的来源及影响，以期为债券计算器的实务应用提供借鉴。

为完善债券市场价格发现功能、促进我国债券市场收益率曲线的合理形成，中国人民银行在2004年发布了《中国人民银行关于全国银行间债券到期收益率计算有关事项的通知》，在银行间债券市场实行统一的到期收益率计算标准，并在2007年因计息基数的改变而更新了计算公式。更新后的公式定义了新计息基准下债券全价与到期收益率之间的互算方法。但受限于篇幅，两个《通知》对一些特殊应用场景并未详细展开论述，导致市场机构在设计债券试算工具时对不同参数持不同理解，并采用了不同的处理方式。这种不同突出体现在对末期现金流的处理方式上，具体而言涉及最后付息周期中当前计息年度实际天数的取值，以及付息日与到期兑付日非点对点情况下最后一笔现金流的折算方式。本文拟针对此类特殊情况，分析典型债券计算器的不同处理方式，并探讨其对计算结果的影响。

一、最后付息周期中当前计息年度实际天数取值的分析

根据2007年人民银行发布的《全国银行间债券市场债券到期收益率计算标准调整表》，对处于最后付息周期的固定利率债券、待偿期在一年及以内的到期一次还本付息债券和零息债券，到期收益率按单利计算，公式（1）为：

其中，PV：现值；FV：到期兑付日债券本息和；D：债券结算日至到期兑付日的实际天数；y：到期收益率；TY：当前计息年度的实际天数，算头不算尾。

在此公式中，有两个时间变量，一个是未付息天数D，一个是当前计息年度的实际天数TY。其中D的定义较为明确，为债券结算日至到期兑付日的实际天数。而对于TY的取值方法，市场理解出现分歧。

理解一：TY为结算日的上一付息日至其点对点的下一年的实际天数，一般情况下，周期包含2月29日时取366，其余情况取365；

理解二：TY取结算日对应那一年的实际天数。

以债券11华联CP001(41169008.IB)为例，此债券为每年付息二次的浮动利率债券，利率为一年定存利率+3.65%(最后一期票面利率为6.9%)。起息日为2011-12-29，到期日为2012-12-29，期间6-29和12-29为付息日。该券最后一期的现金流为103.45元。设定的结算日为2012-7-7，到期收益率取5%。

对于11华联CP001来说，某信息商软件采用了理解一，TY的取值为365，因结算日对应的上一付息日为2012-6-29，其点对点的下一年度时点为2013-6-29，期间不含2-29，共365天，由此计算出的全价为101.0281元；而另一金融服务商计算器采用第二种理解方式，到期兑付日所在年度2012年为闰年，TY取值为366，据此所得的全价为101.0346元。

值得注意的是，在2004年版《通知》中虽使用了“计息年度”的概念，但并未对其进行明确定义。至2007年版本，才在调整对照表文末增加了对于“计息年度”的说明，为“发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依次类推”。以此定义来看，理解一与央行说明一致。但总体而言，不同理解所造成的TY差异仅有1天，对最终计算结果的影响较小。针对上例，两种理解方式造成的差异小于面值的万分之一。即使为了扩大其影响，将结算日靠近付息日以扩大D值，最终造成的结果差异也在1‰以下。

二、到期兑付日与付息日非对点对点情况下最后一笔现金流处理方式的分析

首先明确付息日与到期兑付日非点对点情况下的关键时点。如图1所示，对于债券13鲁高集PPN001(31390185.IB)，其起息日为2013-5-27，每年付息一次，付息日为每年的5-27（与起息日对应），而到期兑付日为2015-3-27，处于实际付息日A和其后一个虚拟付息日B之间，而非与付息日点对点对应。

图1  债券付息日与到期兑付日非点对点情况下的时点定义

此类情况根据《全国银行间债券市场债券到期收益率计算标准调整表》，

1.对于不处于最后付息周期的固定利率债券，到期收益率按复利计算，计算公式（2）为：

其中，PV：现值；C：票面年利息；f：年付息频率；y：到期收益率；TS：当前付息周期的实际天数；D：债券结算日至下一最近付息日之间的实际天数；n：结算日至到期兑付日的债券付息次数；M：债券面值。

2.对待偿期在一年以上的到期一次性还本付息和零息债券，到期收益率按复利计算，公式（3）为：

其中，PV：现值；FV：到期兑付日债券本息和；y：到期收益率；TY：当前计息年度的实际天数，算头不算尾；d：结算日至下一最近理论付息日的实际天数；m：结算日至到期兑付日的整年数。

当债券处于还需支付多期利息才能兑付的情况下，计算债券现值需要将结算日至到期兑付日间每一期的利息与本金约折至结算日。此时，针对付息日与到期兑付日非点对点情况下，如何折算最后一笔现金流的处理方式出现了理解分歧。本文涉及的两款债券计算器采用了下列两种方法：

方法一：将每一期的现金流单独折算至结算日，其中一年以内的现金流采用公式(1)以单利折算，一年以上的采用公式(3)以复利进行折算；

方法二：认为到期兑付日的现金流发生在下一理论付息日上，也就是图1中的付息日B上，再按照公式(2)求解债券现值。

以债券13鲁高集PPN001(31390185.IB)为例，此债券为每年付息一次的固定利率债券，每次付息4.95元。起息日为2013-5-27，到期日为2015-3-27，期间每年的5-27为付息日，最后一期的现金流为104.1227元。设定的结算日为2013-5-28，设定的到期收益率为5%。

本例中共有2笔现金流，方法一将2014-5-27的4.95元的现金流使用公式(1)以单利约折到2013-5-28，再把2015-3-27的104.1227元现金流使用公式(3)以复利的方式约折到2013-5-28。最后将两者求和，得到结果99.9433元。方法二则认为最后一笔现金流发生在2015-5-27，并直接套用公式(2)来计算现值，得到的计算结果为99.1699元。

从不同方法本身的处理逻辑来看，方法二更贴近人民银行发布文件的约定。上文例子属于公式(2)定义的应用场景，即“对于不处于最后付息周期的固定利率债券”所进行的计算，但公式(2)仅考虑了整数付息周期的情况，其参数n定义为“结算日至到期兑付日的债券付息次数”。以此来看，即是将最后一期与付息日不对应的现金流置于虚拟的付息日B进行处理。而从处理方式上看，方法一的计算结果更符合理论值，每期现金流都以实际天数进行折算。但值得一提的是，方法一中所应用的公式(3)对于d的定义为“结算日至下一最近理论付息日的实际天数”。而根据2004版的《中国人民银行关于全国银行间债券到期收益率计算有关事项的通知》中对“理论付息日”的定义，为“债券期限内每年与到期日相同的日期”，即d的取值遵循从后向前的原则，针对13鲁高集PPN001，理论付息日为每年的3-27；而公式(3)中关于TY的定义为“当前计息年度的实际天数”，依据前文所述，“计息年度”根据起息日从前向后进行定义，针对13鲁高集PPN001为每年的5-27至次年5-27之间，由此造成了付息周期定义上的错位。但TY的取值最多相差1天，依据第一节所讨论的内容，其对最终结果的影响基本可忽略不计。

从不同方法对于计算结果的影响来看，方法二因对于最后一期现金流进行延后处理，导致最后一笔现金流以到期收益率5%多折算了61天，由此造成价格低估。当到期兑付日偏离付息日对应日期越远，则应用方法二所造成的偏差越大，甚至会将债券的全价大大低估。在方法二下，债券在2013-5-28的现值为99.1699元，相比起方法一，现价的差价为0.7734元。

为找寻两种方法对债券全价计算结果的影响，在其他条件不变的情况下，仅改变债券到期兑付日至付息日B之间的实际天数(TD)来观察全价的变化。

因付息周期最长1年，故TD理论取值范围在1年以内。借用13鲁高集PPN001(31390185.IB)的数据，假设其到期兑付日从2014-6-1至2015-4-1之间变动，比较对应TD取值范围在一年以内变动情况下采用不同方法计算得到的全价发现，TD越小，也就是到期兑付日越靠近最后付息周期的结束位置(付息日B)，则两种方法计算得到的差异越小；而随着TD的升高，即到期兑付日逐渐靠近最后付息周期的起始位置，两种方法计算差迅速扩大，从0.3811上升到4.1592元，上升10倍以上。

三、总结

本文分析了典型债券计算器因对末期现金流处理方式的不同所造成的计算结果差异。主要针对了两种情况：(1)最后付息周期中当前计息年度实际天数取值的影响；(2)到期兑付日与付息日非对点对点情况下最后一笔现金流处理方式的影响。本文结论如下：

1.对最后付息周期中当前计息年度实际天数取值存在年度核算上的理解差异，造成365或366的取值差异。但取值差异对全价计算结果影响有限，差异占比在1‰以内。

2.在到期兑付日与付息日非点对点情况下，最后一期现金流的折算时间差异是造成不同方法结果的主要原因，随着到期兑付日与最后付息周期结束日(付息日B)之间差异的增加，两种方法的结果差异会达到10倍以上。两种方法在使用上各有优劣。从方法本身的处理逻辑来看，方法二更贴近人民银行发布文件的约定，但方法二仅考虑了整数付息周期的情况，将最后一期现金流统一置于虚拟的付息日B进行处理，造成了计算结果与理论值的差异；相比而言方法一的计算结果更符合理论值，每期现金流都以实际天数进行折算。但方法一中d与TY的取值会面临付息周期定义上的错位。但TY的取值最多相差1天，依据第一节所讨论的内容，其对最终结果的影响基本可忽略。如以靠近理论值为目的，则方法一的计算结果更具参考意义。

作者：李瑞、李晓倩，上海国际货币经纪有限责任公司