在量化交易中，我们不可避免地假设过去的事情会为我们提供信息，以便我们在将来做出更好的决策。策略回测可以帮助我们确定策略收益的概率分布。
如果有人告诉你，相比于您被自己心爱的小狗偶尔不小心咬伤致死，其实您被雷击致死的概率更小，您会相信吗？如国家安全委员会所显示，人一生中死于狗咬的机率是1：112,400，而死于雷击的机率是1：161,856。尽管雷击看起来可能更致命，但实际情况却更为复杂。让我们看看其中原因。
1656年，法国数学家布莱斯·帕斯卡尔（Blaise Pascal）在一封名为“Gambler’s Ruin”的信中首次讨论到的一个基本的统计概念告诉我们，不断暴露于危险事件的可能性可能会改变我们对单个事件的认知。我们一生中更容易接触狗，这一事实使狗咬最终比雷击更为致命（除非您是利用气象超能力与超级反派作战的X战警成员）。
Gambler’s Ruin（又被称为赌徒破产理论）在单个事件的概率与最终事件的概率之间提供了统计联系。这个概念是交易的基础之一。在这种概率游戏中，无论我们是否意识到，我们的策略是获胜还是失败总是存在一种概率。因此，我们使用的策略是有可能导致破产的。但是破产会如何发生？或者说何时才会发生？更重要的是，在知道这些问题的答案后我们又能做些什么？
由贝尔实验室的科学家 John L Kelly Jr. 于1961年发明的著名凯利公式可以帮助我们找到这些问题的答案。
一个简单的抛硬币游戏
让我们设想一个简单的抛硬币游戏。 如果掷出正面（H ），则投注者将获得全部投注，否则，如果掷出反面（T ），则投注者失去全部赌注。 设结果 H 的概率为p ， T 的概率为 q = 1- p 。 现在假设我们有一个 p > 0.5 的不公平硬币，这意味着抛掷出 H 的可能性比 T 高 。 每次抛掷的奖励 ϕ 是一个随机变量，
其中 ϕ + 和 ϕ – 分别代表获胜和亏损的下注倍数。 让我们先假设每掷一次都是赢了或是输了全部赌注，即ϕ + = 1和ϕ – = -1。
抛硬币的回报 R 的期望值为
那玩家应该每次下注多少呢？ 假设 C0 是玩家的初始资产（或金额），并且他/她每次都下注资产的某部分 f 。 经过 N 次下注后，最终净值 C N 为
最佳赌注大小的推导 – 凯利赌注
让我们研究上述简单抛硬币游戏的最佳下注大小。第一个问题是，我们想要实现什么样的最优化？在本文中，我们希望最大化预期的长期增长率，即每次独立抛掷的平均对数回报。我们希望以使 E [log（1+ fϕ ）] 为最大化的方式选择 f 。因为
将上述表达式的一阶导数设置为 0 并对其进行求解，得出 f = 2 p −1。这是实现最大预期长期增长的赌注大小。 我们将其称为凯利赌注 fKelly = 2 p − 1。
凯利赌注对于任何ϕ +和ϕ– 的一般形式可以同样的推导为
投币游戏的实现与模拟
我们根据上述规则以 CoinTossGame 进行了仿真实验。
以下是实验模拟的参数：
win_rate: p 获胜的概率；
profit: ϕ+, 当结果对应于赢时的下注乘数；
loss: ϕ–, 当结果对应于损失时的下注乘数；
number_of_tosses: N, 游戏运行一次的抛掷次数；
number_of_runs: 游戏的运行次数；
bet_size: f：下注部分
starting_capital: C0：初始资产
以下每列代表一轮游戏，并显示当前游戏中资产的对数。
首先，我们用随机抛硬币的方式进行10 轮，每轮抛掷 30 次，其中获胜概率 p 为 70％，profit = 1，loss = -1。通过计算凯利赌注大小为 2 p − 1 = 2·0.7 − 1 = 40％ 或 0.4。
过度下注，下注不足和凯利下注的特征
我们模拟多次重复下注，并看看不同下注大小所得的资产特征。我们将分别模拟过度下注，下注不足和凯利下注的情况。
过度下注
现在，我们将模拟下注码数超出理想下注的情况，以看看此下注模式对最终净值的影响。首先，让我们仿真1000 条资产曲线，每一条曲线来自下注大小为 80％（这是我们最佳凯利下注 （40％） 的两倍）的100 次抛掷。
我们可以看到，在游戏运行多次之后，过高的赌注更有可能导致破产。原因是连续亏损的可能性总是存在的，在这种情况下，过度下注只会使资产净值几何级下降。
下注不足
接下来，我们以下注大小为 20％模拟100次抛掷的1000条资产曲线，这是我们40％凯利下注的一半。 在这种情况下，我们下注不足。
正如我们所观察到的，在下注时，相对较多次的模拟会下得到不错的最终资产。但是，由于我们下注不足，这意味着我们正在过分安全地进行游戏，也同时意味着我们的资金增长率会受到限制。
凯利投注
最后，我们仿真1000条资产曲线，每一条曲线来自凯利下注的100次抛掷。
可以看到，通过凯利下注，我们可以实现最佳结果。
过度下注、下注不足和凯利下注的最终资产分布
下图显示了最终资产的（对数标度）分布，分别为过度下注，下注不足和凯利下注。
上图显示，即使我们单次获胜率较高（70％），在过度下注的情况下，由于可能发生的连续损失会几何性的减少我们的资产，这很可能导致我们在多次下注之后破产。
投注不足时，我们破产的机会较小，但我们无法优化资产增长。
通过凯利投注，我们拥有最高的预期长期增长率（即预期的最终对数资产），但与投注不足的情况相比，最终资产更分散地聚集在正区域附近。
非对称关系 – 应用（半）凯利以更好地调整赌注大小
让我们针对不同的下注大小重复上述模拟过程，以便我们可以观察到预期长期增长率与下注大小的详细变化。 这次，我们将模拟1000次投掷1000次，起始资本= 100。
让我们绘制预期的长期增长率与下注大小的关系。
我们可以清楚地看到赌注大小和增长率之间的不对称关系。根据定义，预期的长期增长率将通过凯利投注最大化。只要下注的大小超过凯利，长期预期增长率就会下降得更快，而下注不足则不会导致太严重的结果。不论单次获胜概率如何，这种不对称关系都是存在的。
凯利赌注大小 f Kelly 是产生最大预期长期增长率的最佳赌注大小。现在我们了解到，如果投注者以大于凯利作下注，那么他或她很可能会被淘汰。我们还可以看到，过分安全行事并不是一个坏主意，因为它仍然会带来相对积极的结果。
这引起了我们的注意，即使我们以70％的胜率下注，如果我们过度下注，我们最终可能会在连续亏损的情况下破产。这个原理甚至适用于难以预测的游戏。
在交易中的潜在应用
在量化交易中，我们不可避免地假设过去的事情会为我们提供信息，以便我们在将来做出更好的决策。策略回测可以帮助我们确定策略收益的概率分布。
然而，我们必须确保上述的分布足够稳定以获得可靠的凯利公式计算。一种方法是使用移动窗口方法动态地估计概率分布。使用高斯方法可以很容易地估计抛硬币的结果，但是金融市场的预测更具挑战性。
我们必须记住金融市场要比简单的抛硬币游戏要复杂得多。在金融市场中，价格不会随机波动。价格回报分布通常是高度偏斜，并且这些分布的参数对于模型构建而言不够稳定（或统计上不稳定）。
结论
为了在不确定的情况下取得最佳表现，我们必须对概率有所了解，因为这有助于我们通过理解和运用凯利公式来估算最实际的策略。
即使您对自己在游戏中的优势充满信心，在这个概率的世界中您需要做好破产的准备，特别是当您面临更大风险的时候。
