奎星楼主人按：现在是虎年的除夕，给大家拜个早年！除夕这一天，闲在家里阅读苏联数学家维伦金的〈追寻无限〉，感觉精彩绝伦，就译出来供大家春节期间读来智性娱乐一下！
那个非凡的旅馆，或者文静离子的一千零一次旅行。我很晚才到家——仙女座星云俱乐部的聚会，拖到午夜过后很久才结束。我整晚都被噩梦折磨着。我梦见我吞下了一个巨大的库德尔（Kurdl）；然后我梦见我又回到了杜尔迪多夫星球上，不知道如何摆脱那些把人变成六边形的可怕机器。然后……人们通常建议不要把陈酿酒和调味的蜂蜜酒混合在一起。一个意外的电话把我带回了现实。是我星际旅行中的老朋友和伙伴塔兰托教授。
我听他说道：“亲爱的里昂，有一个十分紧迫的问题。天文学家在宇宙中发现了一个奇怪的物体——一条从一个星系延伸到另一个星系的神秘黑线。没人知道发生了什么。即使是最好的望远镜和安装在火箭上的射电望远镜，也无助于解开这个谜团。你是我们最后的希望。请直接飞向ACD- 1587星云的方向。”
第二天，我从修理店把我的旧光子火箭拿回来，装上了我的时间加速器和我的电子机器人，这家伙知道宇宙中所有的语言和所有关于星际旅行的故事(它保证能让我至少五年旅行也听不完)。然后，我就出发去处理那件急事。
就在机器人耗尽了所有的故事，开始重复自己的故事(没有什么比听一个电子机器人第十次重复一个老故事更糟糕的了)之际，我的旅行目标出现在了远处。遮住这条神秘线条的星系在我身后，而呈现在我面前的是……旅馆宇宙。前段时间，我为流浪的星际流亡者建造了一个小行星，但他们把它拆了，再次失去了避难所。在那之后，他们决定放弃漫游外国星系，转而建造一座宏伟的建筑——一座为宇宙中所有的旅行者准备的旅馆。这个旅馆几乎横跨了所有的星系。我说“几乎所有”，是因为这些流亡者拆除了一些无人居住的星系，并从剩下的每个星系中带走了几个位置不佳的星团。
他们旅馆建造得太好了。每个房间都有水龙头，冷热等离子从里面流出。如果你愿意，你可以在晚上被分解成原子，到了早晨，看门人会把你的原子重新组合起来。
但最重要的是，旅馆里有无数的房间。这些流亡者希望从现在起，再也不会有人听到在他们流浪期间折磨他们的那句令人厌烦的话：“没有空房。”
尽管如此，我的运气还是不好。当我进到旅馆的前厅时，首先引起我注意的是这样一块牌子：宇宙动物学家大会的代表在127层登记。
由于宇宙动物学家来自各个星系，而且数量无穷无尽，结果会议的所有房间都被与会者占据了。旅馆里没有我的容身之地。是的，经理试图让一些代表同意和我合住，这样我就可以和他们中的一个人同住一个房间。但当我发现介绍给我的一个室友呼吸的是氟，另一个认为他的环境温度在860时，我礼貌地拒绝了这些“令人愉快”的邻居。
幸运的是，旅馆的主管是个流浪者，他清楚地记得我对他和他的伙伴们所做的好事。他会设法在旅馆给我找个地方住。毕竟，在星际空间过夜可能会得肺炎。他沉思了一会儿，转身对经理说：
“把他安排在一号房间。”
“那我把一号房间的客人安排在什么地方?”
“把他安排在二号房间。把二号房间的客人调到三号房间，三号房间的客人调到四号房间，以此类推。”
直到这时，我才开始欣赏到这家旅馆不同寻常的品质。如果房间数量有限，住在最后一个房间的客人就不得不搬到星际空间去了。但是因为旅馆有无限多的房间，所以有足够的空间容纳所有人，我可以在不剥夺任何一个宇宙动物学家的房间的情况下搬进去。
第二天早上，当我被要求搬到100万号时，我并不感到惊讶。原因很简单，一些宇宙动物学家从VSK-3472星系姗姗来迟，他们必须为另外999,999名客人找到房间。但是，当我住在旅馆的第三天去找旅馆经理付房费时，我沮丧地看到从旅馆经理的窗口排队排出来的一条线，其尽头消失在麦哲伦星云附近的某个地方。就在这时，我听到一个声音：
“我要用仙女座星云的两张邮票换天狼星的一张邮票。”
“谁有宇宙纪元第57年的鲸鱼邮票?”
我困惑地问经理：“这些人是谁?”
“这是集邮家的星际大会。”
“他们有很多人吗?”
“一个无限的集合——每个星系都有一个代表。”
“可是你怎么给他们找地方住呢？毕竟，宇宙动物学家们明天才走呢。”
“我不知道；我现在要去和主管谈几分钟。”
然而，这一次的问题变得更加困难，原本说只要几分钟，却延长到了一个小时。最后，经理离开了主管的办公室，开始做他的安排。首先，他让一号房间的客人搬到二号房间。这对我来说似乎很奇怪，因为根据我自己的经验，我知道这样的转变只能腾出一个房间，而他必须为无数的集邮家寻找地方。但经理继续下达命令：
“把二号的客人送进四号房间，把三号的客人送进六号房间；总的来说就是，把n号客人送到2n号房间去。”
现在他的计划我清楚了：通过这个计划，他可以腾出那一大堆奇数号的房间，让集邮家们住进去。所以最后，偶数被宇宙动物学家占据，奇数被集邮家占据。（关于我自己的情况，我还只字未提——认识了三天之后，我和宇宙动物学家们变得非常友好，我被选为他们大会的荣誉代表；所以我不得不和所有的宇宙动物学家们一起离开我自己的房间，从1,000,000号搬到2,000,000号。）我的一个集邮家朋友排在第574位，他的房间号是1147。一般来说，排在第n位的集邮家得到的房间号是2n - 1。
第二天，房间的情况有所缓和——宇宙动物学家大会结束了，他们动身回家了。我搬去和主管同住，在他的公寓里有一个空房间。但是，对客人有利的东西并不总是使管理人员满意。几天后，我那位慷慨的主人变得颇为愁闷。
“有什么麻烦事？”我问他。
“一半的房间空着。这样我们就无法完成财务计划了。”
其实我不太明白他说的是什么财务计划；毕竟，他已经收到了无限多房间的租金，但我还是给了他一些建议：
“好吧，那你为什么不让客人们安置得紧一些呢？把他们搬动起来，把所有的房间都住满。”
事实证明，这很容易做到。集邮家们住的是奇数房间：1、3、5、7、9等。他们留下1号房间的客人。他们把3号移到2号，5号移到3号，7号移到4号，等等。最后，即使没有一个新客人到来，所有的房间又客满了。
但这并没有消除主管的愁闷。原来，流浪者不满足于建造一个宇宙旅馆。他们不知疲倦地接连建造了无数的旅馆，每一家都有无数的房间。为了做到这一点，他们拆除了如此多的星系，以至于破坏了星系间的平衡，这可能会带来严重的后果。因此，他们被要求关闭除我们旅馆外的所有旅馆，并把使用的材料放回原位。但当所有的旅馆(包括我们的旅馆)都客满时，这一命令很难得到执行。他被要求把无限多家旅馆的所有客人都搬到一家旅馆，每家旅馆都有无限多的客人，但这家早已经住满了！
“我受够了!”主管喊道。“我先是把一个客人住进了已经客满的旅馆，然后是另一个999999人，然后是无限多的客人；现在他们想让我在里面再找到一个空间来容纳无限多无限多的客人。这不行，旅馆不是橡胶做的，可以让他们随便安置。”
但命令就是命令，他们有五天时间为新客人的到来做好准备。在这五天里，旅馆里没有人工作，每个人都在思考如何解决这个问题。主管宣布开展一场比赛——奖品是一次星系之旅。可惜所提出的全部解决方案都不成功。最后，一位正在接受培训的厨师提出了如下建议：让1号的客人住在他现在住的地方，把2号的客人搬到1001号，3号的客人搬到2001号，如此等等。之后，将第二个旅馆的客人放入我们旅馆的编号2、1002、2002等，将第三个旅馆的客人放入编号3、1003、2003等。这个办法被否决了，因为我们不知道该把第1001个旅馆的客人安置在哪里；毕竟，来自前1000家旅馆的客人将占据所有的房间。我们记得，当卑躬屈膝的罗马元老院提议将九月重命名为“提比里乌斯”以纪念这位皇帝时(之前的几个月已经被命名为朱利叶斯和奥古斯都)，提比里乌斯这样刻薄地问他们：“那么你们将给第十三位罗马皇帝献上什么呢？”
旅馆的簿记员提出了一个相当不错的变通方案。他建议我们利用几何级数的性质，将客人重新安置如下：第一家旅馆的客人被安置在2、4、8、16、32等房间。(这些数字构成乘数为2的等比数列)。来自第二家旅馆的客人将被安置在房间3、9、27、81等(这些是乘数为3的等比数列的项)。他建议我们以类似的方式安置来自其他旅馆的客人。但是主管问他：
“那么我们要在第三家旅馆中使用乘数为4的几何级数吗?”
“当然。”簿记员回答。
“那就还是没解决问题；毕竟，第一家旅馆的人已经住在4号房间了，那我们又该把第三家旅馆的人安置在哪里呢?”
轮到我发言了；至少我在恒星学院学了五年数学，并非一无所用。
“使用质数吧。把第一家旅馆的客人分到2、4、8、16……，把第二个旅馆的客人分到3、9、27、81……，把第三个旅馆的客人分到5、25、1 25、625……，第四个变成数字7、49、343……”
“一个房间住两个客人的事情不会再发生了吧?”主管问。
“不会。毕竟，如果取两个质数，它们的正整数幂不能相等。如果p和q是质数，p q，m和n是自然数，那么pm qn。”
主管同意了我的方法，并立即对我提出的方法进行了改进，即只需要质数2和3。也就是说，他建议把第n家旅馆第m个房间的客人放在2m 3n的房间里。这是可行的，因为如果m p或n q，则2m 3n 2p3q。所以不会出现一个房间住两个客人的情况。
这个建议使每个人都高兴。这是对每个人都认为无法解决的问题给出的解决方案。但是主管和我都没有得奖；如果采用我们的解决方案，将会有太多的房间空着没人住(按照我的方法，如6、10、12，总之所有不是质数幂的号码的房间都空着，根据主管的说法，所有空着的房间的号码都不能写成2n 3m的形式)。最好的解决办法是由一位集邮家提出来的，他是天鹅星系数学学院的院长。
他建议我们建一个表格，在它的行中显示旅馆的编号，在它的列中显示房间号。例如，第4行和第6列的交汇处，表示第4家旅馆的第6个房间。下面是这张表格(实际上，只是它的左上角，因为要写出整个表格，我们必须使用无限多的行和列)：
“现在可以按照方格把客人安置好了。”数学家兼集邮家说。
“如何做到呢?”主管不明白。
”按照方格来。第1号是来自(1, 1）的客人，即来自第一家旅馆的第一个房间的客人；第2号是来自(1,2)的客人，也就是来自第一个旅馆的第二个房间的客人；第3号是来自(2,2)的客人，住第二家旅馆的第二间房；第4号是来自(2,1)的客人，住第二家旅馆的第一个房间。这样一来，我们就把左上角边长为2正方形内的客人安顿好了。之后，把来自(1,3)的客人送到5号，来自(2,3)的客人送到6号，来自(3,3)的客人送到7号，来自(3,2)的客人送到8号，来自(3,1)的客人送到9号。(这些房间组成了边长为3的正方形。)我们以这样的方式继续下去：
“真的有足够的空间容纳所有人吗?”主管表示怀疑。
“当然。毕竟，根据这个方案，我们把前n家旅馆的前n个房间的客人安置在前n2个房间里。所以迟早每个客人都会有一个房间。例如，如果我们说的是住在217号旅馆的136号客人，他就会在第217步得到一个房间。我们甚至可以很容易地找出是哪个房间。它会是2172-136 + 1。更一般地说，如果客人在第m家旅馆住在第n个房间，那么如果nm，他将占据号码(n - 1)2 + m，如果n ，他将占据号码m2 - n + 1。”
这个办法被认为是最好的——所有旅馆的客人都会在我们旅馆找到一个位置，甚至没有一个房间是空的。这位数学家兼集邮家获得了奖品——LCR-287星系之旅。
为了纪念这个如此成功的解决方案，主管组织了一个招待会，邀请了所有的客人。然而，接待也有问题。住偶数房间的人迟到了半小时，当他们来的时候，发现所有的椅子都坐满了，尽管我们好心的主人为每位客人安排了一把椅子。他们不得不等着大家换到新的位置，以便腾出必要的座位(当然，并没有搬进一张新椅子)。后来，当他们开始为客人提供冰淇淋时，他们发现每位客人都有两份，尽管事实上，厨师只为每人准备了一份。我希望读者现在能自己想出其中的究竟。
在招待会结束后，我进入我的光子火箭，飞向地球。我必须告知地球上的宇航员宇宙中存在的新避难所的情况。此外，我还想就无限集的性质请教一些著名的数学家和我的朋友塔兰托教授。
